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1、无穷递缩等比数列各项和,=e,几个基本数列的极限,1.,2.,3.,引例:把无限循环小数0.333化为一个分数.,定义:我们把|q|1的无穷等比数列前n的和Sn,当n时的极限叫做无穷等比数列各项和.,记为:,无穷等比数列,注意：（1）我们把|q|1无穷等比数列称为无穷递缩等比数列，它的前n项和的极限才存在，当|q|1无穷等比数列它的前n项和的极限是不存在的。（2）S是表示无穷等比数列的无限项和，这种无限个数的和与有限个数的和从意义上来说是把不一样的，它是前n项和Sn当n的极限，即S=,已知等比数列求它的各项和,求无穷等比数列,的所有项和.,使用公式 要注意三个问题:,（1）所给数列是等比数列；
2、（2）公比的绝对值小于1;(3)前n项和与所有项和的关系:,例1:把下列循环小数化为分数,(1)0.(2)1.4(3)0.7+0.07+0.007+(4)0.+0.0+0.00+,例2:(1)设无穷等比数列所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为-3,求首项a1.(2)已知无穷等比数列的首项a1等于后面的各项之和k倍,求公比q的取值.,例3:设首项为1，公比为q（q0）的等比数列的前n项和为Sn，设Tn=,nN.求:,例3:设首项为1，公比为q（q0）的等比数列的前项和为Sn,设Tn=,nN.求:,解：当q=1时，Sn=na1=n,Tn=,=1;当q1时，Sn=,Tn=当01时，=q,例4：在直
3、角坐标系中，一个粒子从原点出发，沿x轴向右前进1个单位到点P1，接着向上前进1/2单位到点P2，再向左前进个1/4单位到点P3，又向下前进1/8单位到点P4，以后的前进方向按向右，向上，向左，向下的顺序，每次前进的距离为前一次前进的距离的一半。这样无限地继续下去，求粒子到达的极限位置的坐标.,例5：圆01是边长为a的正三角形ABC的内切圆,圆O2与圆O1外切，且与AB、AC相切，圆O3与圆O2外切，且与AB、AC相切，如此无限继续下去，求所有圆面积之和S。,练习,(1)等比数列的首项a1=-1,前项和为Sn,若=,则 等于。(2)等比数列 中,它的各项和S=1/4,求首a1的取值范围。(3)在数列an中，若lim(2n-1)an=1，则 lim(n an)的值等于,
