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1、有限元分析,Finite Element Analysis,课程目标,了解有限元法的概念和形成过程，掌握有限元方法的基本思路。以弹性力学平面问题、稳态传热问题为主要背景，讲授有限元方法的原理与核心算法，包括建模方法、单元分析、整体分析、等参单元、数值积分等。学习有限元软件ANSYS的使用方法，初步掌握用有限元法分析工程问题的方法。了解有限元法的工程应用与有限元软件的发展水平。,课程评估平时作业20%课程大作业30%测验/考试50%联系方式办公地点：焊接馆218电 话：62797009E-mail:,参考书目,(美)Saeed Moaveni著,欧阳宇,王崧等译.有限元分析ANSYS理论与应用.
2、北京:电子工业出版社,2003 Saeed Moaveni.Finite Element Method Theory and Application with ANSYS.New Jersey:Prentice-Hall,Inc.,1999王勖成,邵敏编著.有限单元法基本原理和数值方法.北京:清华大学出版社,1997,曾攀.有限元分析及应用.北京:清华大学出版社,2004 朱伯芳著.有限单元法原理与应用（第2版）.北京:中国水利水电出版社,1998O.C.Zienkiewicz,R.L.Taylor.The finite element method(5th ed).Oxford;Boston
3、:Butterworth-Heinemann,2000杨桂通.弹性力学.北京:高等教育出版社,1998,1 有限单元法简介,1.1有限单元法的形成过程1.2有限单元法的基本思路1.3有限单元分析的基本步骤1.4有限单元法的进展与应用,1.1有限单元法的形成过程,两类典型的工程问题第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。,平面桁架结构，由6个承受轴向力的“杆单元”组成。,大型编钟“中华和钟”的振动分析及优化设计。,1889年
4、建成的Effiel塔，高度约300米，由18036个部件组成。,热传导问题的控制方程与换热边界条件如下：,两类问题的对比,把第一类问题称为离散结构问题。离散结构是可解的，但是求解复杂的离散系统，要依靠计算机技术。第二类问题的研究对象称为连续体问题。可以建立描述连续体问题的基本方程和边界条件，通常只能得到少数问题的解析解。对于许多实际的工程问题，需要用近似算法求解。,有限单元法的形成,在寻找近似解法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限单元法（Finite Element Method)。有限单元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，它的形成直接得益于土木结构分析中的矩阵
5、位移法和在飞机结构分析中所获得的成果。,从固体力学的角度来看，桁架结构与分割成有限个分区后的连续体在结构上存在相似性。,1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。1956年，M.J.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin,L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。1960年，R.W.Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（Finite Element）这一术语,有限单元
6、法的数学基础（1）,数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。在1963年前后，经过J.F.Besseling,R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限单元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。,有限单元法的数学基础（2）,1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限单元法的相同步骤求解。1969年B.A.Szabo和指出可以用加权余量法特别是
7、Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。,我国学者的贡献,陈伯屏（结构矩阵方法）钱令希（余能原理）钱伟长（广义变分原理）胡海昌（广义变分原理）冯康（有限单元法理论）,20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝应力计算的基础上，独立于西方创造了有限元方法并最早奠定其理论基础。-数学辞海第四卷,1.2 有限单元法的基本思路,将连续体分割成有限个分区或单元用标准方法对每个单元提出一个近似解将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。,自重作用下等截面直杆的解,受自重作用的等截面直杆如图所示，杆的长度为L，截面积为A，弹性模量为E，单位长度的重量为q，杆的内力为N。试求：杆的位
8、移分布，杆的应变和横截面正应力。,自重作用下直杆的材料力学解,在x处的微小直杆dx的变形量为，,将微小直杆的变形积分可以得到直杆的位移，,自重作用下直杆的有限单元法解,1）离散化如图所示，将直杆划分成n个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。称两段之间的连接点为结点，称每个有限段为单元。第i个单元的长度为Li，包含第i，i+1个结点。,2）用单元结点位移表示单元内部位移第i个单元中的位移用所包含的结点位移来表示。,第i结点的位移,第i结点的坐标,自重作用下直杆的有限单元法解(续),第i个单元的应变,应力,内力,自重作用下直杆的有限单元法解(续),3）把外载荷集中到结点上,把第i单元和第i+1单元重量的一半，集中到第i+1结点上,自重作用下直杆的有限单元法解(续),4）建立结点的力平衡方程,对于第i+1结点，由力的平衡方程可得：,令,根据约束条件，,对于第n+1个结点，第n个单元的内力与第n+1个结点上的外载荷平衡，,建立所有结点的力平衡方程，再加上约束条件可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解出n+1个结点的位移。,例1-1、将受自重作用的等截面直杆划分成3个等长的单元，试求杆的位移。,定义单元的长度为,得到3个单元，4个结点。,对于结点1，,对于结点2、3，,对于结点4，,理论值与计算值的对比,
