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1、5.5 有限冲激响应滤波器的设计 1.线性相位FIR滤波器特性 1)对h(n)的约束：,2)对零点分布的限制：对单位圆呈现共轭反演对称分布；3)对频率特性的限制：由h(n)的奇偶二种对称性以及N等于奇偶不同情况可以有四种频率特性与之对应。,偶对称情况：,奇对称情况：,情况1：经推导化简得频率特性：,特 点：对 0，2 呈 偶 对 称。,情况2：经推导化简得频率特性：,特 点：当=时，H()=0，即在 z-1 处 有一个零点，对=是奇对称，因而不能用这种滤波器实现高通滤波特性；当=0，2 时，是偶 对 称，可以实现低通滤波特性；是以4为周期的周期性函数。,情况3：经推导化简得频率特性：,特 点：
2、1 在 0，2处为零，也就是 H(z)在 处为零；2 对 0，2 成 奇 对 称，因而无法实现 低通和高通；3 是以4为周期的周期性函数；4 有固定的 相移，适宜做微分器、希尔伯特变换器；,情况4：经推导化简得频率特性：,特 点：1 在0，2处为 零，即H(z)在 z=1处为零点；2 对 0，2 呈 奇 对 称，对 呈 偶 对 称；3 有固定的 相移，适宜做宽带微分器和正交变换器；,线性相位FIR滤波器频率特性：,为的实偶函数h(n)=h(N-1-n)偶对称条件 N=odd，=0，不为0；N=even，=0 不为0,=为0,为的虚奇函数h(n)=h(N-1-n)奇对称条件 N=odd，=0，都
3、为0；N=even，=0 为0,=不为0,(有 相移),4)FIR滤波器设计方法 窗函数法设计频域方均误差最小；频率采样法设计函数插值法逼近；等波纹法设计Chebyshev最佳一致逼近；2.窗函数法设计 1)窗函数法设计准则频域方均误差最小,推导得到：h(n)=hd(n)RN(n),矩形窗函数,2)理想低通加矩形窗后频率特性的变化 理想低通：,矩形窗：,加矩形窗后理想低通频率特性：,几个特殊点的观察,加窗处理后，对理想矩形的频率响应产生以下几点影响：（1）使理想频率特性不连续点处形成一个过渡带，其宽度正 比于窗的频率响应的主 瓣宽度；,8.95%,21dB,（2）在截止频率的两边的地方即过渡带
4、的两边，出现最 大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决 于旁瓣的相对电平，而振荡的多少，则取决于旁瓣的多少。(即Gibbs现象)。（3）改 变N，只能改变窗谱的主瓣宽度，改变的 坐标比例以及改变WR()的绝对值大小，但不能改变主瓣与旁瓣 的相对比例（此比例由窗函数的形状决定）。结论：在窗函数设计中 与N成反比；与窗函数主瓣宽度成正比；与N无关；与窗函数旁瓣电平(面积)成正比；,过渡带宽度,阻带衰减,3)窗函数的主要指标及类型(1)窗函数的主要指标 主瓣宽度：3 dB 带宽：主瓣归一化幅度降到 3 dB 时的带宽；或直接用主瓣零点间的宽度；,旁瓣最大峰值电平 A(dB）；,旁瓣谱峰衰
5、减速度 D(dB/oct）,(2)窗函数的主要类型 结构型窗：由简单窗函数的相加、相乘、卷积等组合成性能较好的窗函数；,例：汉宁(Hanning)窗,Kaiser窗：,定义：,令：,可确定：,按优化准则构造的窗函数：DolphChebyshev Window 给定时宽T和旁瓣电平，让主瓣宽度最窄；,DolphChebyshev Window(N=31,10360dB),dB,4)不同窗函数和不同N对滤波器频率特性的影响：5)窗函数法设计举例：参考教材6)窗函数法设计优缺点：,优点：1.无稳定性问题；2.容易做到线性相位；3.可以设计各种特殊类型的滤波器(例如微分器)；4.方法特别简单。缺点：1
6、.不易控制边缘频率；2.幅频性能不理想；3.h(n)较长；,3.频率取样法设计频率抽样法是指定离散的理想频率响应Hd(k)抽样值，通过内插求得H(z)，因而是插值法逼近。1)频率取样法设计原理 由Hd(k)求Hd(z)的插值公式：,S(,k),若 具有线性相位特性，则：,因而频域内插公式：,设计结果的评价：取样点与要求的特性完全吻合，其 他点由内插决定；在截止频率附近形成平滑的过渡带；阻带衰减小于20dB；,2)阻带频率特性的改善 措施：在通带和阻带之间设置“非约束”频率取样点，改变其点数和幅度，使阻带衰减达到最大；原理：,H1=0.5,H1=0.3904,H1=0.5886,H2=0.106
7、5,一个：4454dB 二个：6575dB 三个：8595dB,过渡带的样本点数与阻带衰减的估算,3)设计原则：选择非约束频率点的个数和幅度，使阻带衰减达到最大；,与N成反比；与非约束频率点的个数成正比；与N无关；与非约束频率点的个数和幅度有关；,过渡带宽度,阻带衰减,4.等波纹逼近 1)函数逼近法简介：用PN(x)N阶多项式来逼近函数f(x)最小均方逼近：,插值法逼近：多项式PN(x)，在x=xk点有 PN(xk)=f(xk),k=1，2，3，N 最佳一致逼近：着眼于在a,b区间内使误差函数 E(x)=均匀一致 且使,axb,Chebyshev最佳一致逼近理论解决了 PN(x)的存在性、唯一
8、性及构造方法等问题。Chebyshev交错定理：设f(x)是定义在a,b上的连续函数，PN(x)是N次多项式集中的一个阶次不超过N的多项式，令,PN(x)是 f(x)最佳一致逼近的充要条件是，在a,b上PN(x)至少存在(N+2)个交错点：ax1x2 xN+2b 使：,i=1,2,3,N+2,+EN,-EN,a,b,x1,x2,x3,x,E(x)=PN(x)f(x),0,2）等波纹设计要求及参数,过渡带,通带内以最大误差1逼近1阻带内以最大误差2逼近0用统一的加权误差函数表示：,其中：,Chebyshev逼近问题是寻求H(ej),使加权误差函数E(ej)在区间0，具有等波动性 且：对于如图所示
9、的低通滤波器频域容差图共有5个参数：M(极值点的个数)，1，2，p,s 设计时不可能独立地规定全部5个参数，而是根据不同的 算法，规定某几个参数，然后用叠代法得到其余参数的 最佳值。Parks-McClellan算法。,数字滤波器设计中常用的Matlab函数 1)与结构有关的m函数 直接型：tf2zp、zp2tf由H(z)求零、极点或反之；zplane画零、极点分布；filter系统对输入信号的响应；freqz求系统的频率特性；级联型(sos)：zp2sos由零、极点求级联型结构；并联型：residuez由直接型求并联型结构(部分分式 展开)；格型结构：poly2rc、rc2poly由多项式求
10、K或反之；tf2latc、latc2tf由H(z)求格型结构或反之；latcfilt格型结构对x(n)的响应；,2）与IIR滤波器设计有关的m函数：间接法设计：impinvar冲激响应不变法；bilinear双线性变换；IIR滤波器的阶数估计：buttord、cheb1ord、cheb2ord、ellipord IIR滤波器的设计：butter、cheby1、cheby2、ellip、maxflat、yulewalk 规一化模拟低通原型设计：buttap、cheb1ap、cheb2、ellipap 模拟域频率变换：lp2bp、lp2bs、lp2hp、lp2lp,3)与FIR滤波器设计有关的m函
11、数：产生窗函数的文件有八个：1.bartlett（三角窗）;2.blackman（布莱克曼窗）;3.boxcar（矩形窗）;4.hamming（哈明窗）;5.hanning（汉宁窗）;6.triang（三角窗）;7.chebwin（切比雪夫窗）;8.kaiser（凯赛窗）;9.kaiserord(凯赛窗阶数),窗函数设计：1.fir1.m 用“窗函数法”设计FIR；2.fir2.m 本文件采用“窗函数法”设计具有任意幅 频相应的FIR 数字滤波器；升余弦型FIR滤波器设计：firrcos 最小平方FIR线性相位滤波器设计 firls、fircls、fircls1 内插FIR滤波器设计：intfilt Parks-McClellan算法的优化FIR滤波器设计 remezord、remez、cremez,
