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1、第4章：一些重要的概率分布(由中心极限定理开始,第4章：一些重要的概率分布,总结,F 分布,4.5,t 分布,4.4,分布,4.3,4.2,正态分布,4.1,4.1 正态分布（normal distribution）,表示,密度函数 正态变量的概率密度：,最重要的一种概率分布。,连续型分布。,正态分布的图形,4.1.1 正态分布的性质,3.分布曲线下的面积约有68%位于 之间；约95%位于 之间。4.可由均值和方差两个参数来描述。5.两个或多个正态随机变量的线性组合仍服从正态分布。6.正态分布的偏度S=0，峰度K=3,1.分布曲线以均值为中心对称。2.分布曲线呈中间高、两边低，在均值最高。,例
2、4.1：令X表示在曼哈顿非商业区一花商每日出售的玫瑰花数量，Y表示在曼哈顿商业区一花商每日出售的玫瑰花的数量，假定X和Y服从正态分布，且相互独立，并有：XN(100,64)，YN(150,81)，求两天内两花商出售玫瑰花数量的和的期望和方差？,解：设随机变量W表示两天内两花商出售玫瑰花数量的和，则有：W=2X+2Y则因为X和Y相互独立，且都服从正态分布，所以W也服从正态分布，且期望为：E(W)=E(2X+2Y)=2E(X)+2E(Y)=200+300=500方差为：Var(W)=Var(2X+2Y)=4Var(X)+4Var(Y)=4*64+4*81=580所以：WN(500,580),4.1
3、.2 标准正态分布标准正态分布：均值为0，方差为1时的正态分布。当,标准正态分布密度函数参考正态分布密度函数,同方差，不同均值,不同方差，同均值,不同方差，不同均值,例4.2（掌握标准正态分布表的使用方法）变量X表示面包房每日出售的面包量，假定其服从均值为70，方差为9的正态分布，即XN(70,9)，任给一天，求（1）出售面包数量大于75的概率。（2）出售面包数量小于等于75的概率。（3）出售面包数量在65与75之间的概率。（4）出售面包数量在大于75或小于65的概率。,例3.10,解：,（1）,（2）,（3）,（4）,4.1.3 从正态总体中随机抽样 可从一给定均值和方差的正态总体中生成一随
4、机样本。也可以利用标准正态分布的随机样本，将它转化为不同均值和方差的正态分布。许多统计软件包都有从常用的概率分布获得随机样本的程序，称为随机数字生成器（random number generators）。见Excel文件。,4.1.4 样本均值 的抽样分布或概率分布,随机抽样与简单随机样本,随机抽样(random sampling)：最常用的抽取样本的方法，它要求抽取的样本满足等可能性和独立性，即每一个个体被抽取的可能性是相等的，且样本各个体之间是相互独立的。这样抽样得到的样本被称为简单随机样本或独立同分布随机样本（）。(Independently and identically distri
5、buted random variables),例：X1，X2，Xn是从一个正态总体N(u,2)中抽取的一个简单随机样本，则X1，X2，Xn是独立同分布的随机变量，同服从N(u,2)。,统计量：不含未知参数的样本的函数。例如样本均值和样本方差。抽样分布：样本统计量的分布被称为抽样分布。,例4.6：某总体服从正态分布，正态分布的均值为10，方差为4，即N(10,4)。从这个正态总体中抽取20个随机样本，每个样本包括20个观察值。对抽取的每个样本，计算得到其样本均值，因而可得到20个样本均值，见Excel文件。,通过实例我们可以看出，正态分布的样本的样本均值也服从正态分布。实际上，我们可以严格证明
6、下面这一结论：正态分布的样本均值的抽样分布也是正态分布。且有,很容易利用标准正态分布表中计算某一给定样本均值大于或小于某一给定的总体均值的概率。利用变换公式：,例4.7：令X表示某一型号汽车每消耗一加仑汽油所行驶的距离（英里）。已知XN(20,4)，则对一个有25辆汽车组成的随机样本，求：（a）每消耗一加仑汽油所行驶的平均距离大于21英里的概率；（b）每消耗一加仑汽油所行驶的平均距离小于18英里的概率；（c）每消耗一加仑汽油所行驶的平均距离介于19和21英里之间的概率。,所以,（a）,（b）,（c）,解：,则样本均值也服从 正态分布，且其均值为u，方差为。,若,来自于,的正态总体的随机样本。,
7、即有：,前面已经知道：,4.1.5 中心极限定理,如果样本不是来自于正态总体呢？,如果样本（）是来自于任一总体（均值为u，方差为）的随机样本，当样本容量n无限增大时，其样本均值将趋于正态分布，且其均值仍为u，方差为。,即：,简言之，若样本容量足够大，则来自于任意分布总体的随机样本，其样本均值近似服从正态分布。这就是中心极限定理。,(a)来自正态总体的样本,(b)来自非正态总体的样本,正态总体,样本均值的抽样分布,非正态总体,样本均值的抽样分布,这里假设的是总体的均值和方差都是已知的，如果总体均值已知，但总体方差未知，我们用样本方差代替总体方差，得到一个新的统计量，它将服从自由度为n-1的t分布
8、。,我们已知,4.2 t分布,k=120（正态）,k=5,k=10,图3-9 不同自由度下的 t 分布,t 分布的性质1.与标准正态分布相似，具有对称性。即偏度为零。2.均值为零，方差为3.t分布比标准正态分布峰低、两侧尾部厚一些。4.随着k的增大，t分布将越来越接近于标准正态分布。,例4-8（略）再回到例4-2。在15天内，出售面包的平均数量为74条（样本标准差为4条）。假定真实的期望值为70条，求15天内售出面包平均数量大于74条的概率？分析：假定真实的标准差 已知，则可通过标准正态分布变量Z来回答此问题。但现在仅知道真实标准差的估计量S，我们利用t统计量来回答这个问题：,解：,注意在本例
9、中，自由度为14=(15-1)，当自由度为14时，查表得：t值大于等于2.145的概率为0.025，t值大于等于2.624的概率为0.01，t值大于等于3.787的概率为0.001，因此，所求t大于3.873的概率小于0.001。,例4-9：（略）上例中其它条件保持不变，现假定15天内出售面包的平均数量为72条，求大于此数量的概率？解：,所求概率在0.025到0.05之间。,例4-10：（略）现假定15天内，出售面包的平均数量为68条，样本标准差为4，若真实的平均出售量为70条，求出售面包平均数量小于68条的概率？解：,相应概率为0.025到0.05之间。,例4-11：求每天出售面包的平均数量
10、在68条与72条之间的概率？解：,相应概率为0.90到0.95之间。,例4-12：（略）下面是1967-1990年间学生能力测试分数表：（见Excel文件：第4章）现抽取由10位男生语言能力测试分数组成的随机样本。其样本均值和方差分别为440.60和137.60，若真实均值为440.42，求样本均值大于440.60的概率。解：,查表可得，此概率大于0.25，小于0.5。,标准正态分布的平方服从自由度（degrees of freedom,d.f.）为1的 分布。,这里定义自由度是平方和中独立观察值的个数。若 是k个相互独立、同分布的随机变量，其共同的分布为标准正态分布N(0,1)，则其平方和服
11、从自由度为k的 分布，即有：服从自由度为k的 分布。,x,概率密度,k=2,k=5,k=10,1.取值范围从0到无限大。2.自由度越大，偏度越小。3.期望为K，方差为2K。4.若两分布E1，E2相互独立，则（E1+E2）,例4-13（略）若自由度为30，求（1）观察到的 分布值大于13.78的概率；（2）观察到的 分布值大于18.49的概率；（3）大于50.89的概率？,解：见书P388，查表可得，三个概率分别为0.995，0.95和0.01。,命题：若随机样本来自于方差为2的正态总体，其样本容量为n，样本方差为S2。可以证明：,4.4 F分布,F分布（F distribution）是经济计量
12、学中又一种重要的概率分布。,定义：随机样本X1,X2,Xm来自于均值为u1，方差为 的正态总体，其样本容量为m；随机样本Y1,Y2,Yn来自于均值为u2，方差为 的正态总体，其样本容量为n，且这两个样本相互独立。,定义：若，且X和Y相互独立，则有：,如果两总体同方差，有,令,有：,F分布的性质1.F分布是右偏分布，取值为0到无限大。2.当自由度k1,k2逐渐增大时，偏度越小。,3.t分布变量的平方服从分子自由度为1,分母自由度为k的F分布,4.,例如：,例4-15：回到例4-12，假定男、女生的语言能力的测试分数均服从正态分布，根据得到的两个样本方差，能否认为两总体是同方差的？解：其实这是一个
13、假设检验问题，要检验两总体是否同方差，可以利用F统计量。零假设：两总体同方差；备择假设：两总体方差不同。利用两个样本的样本方差计算得到F值为F=2.1353，在0.1的显著水平下，F(24、24）2.14的概率介于15之间，如果认为这个概率值太小，可认为在0.1的显著水平下，两总体的方差是不同的。,例4-16：两个班级进行同样的经济计量学测试。一个班级有100名学生，另一个班级有150名学生。从第一个班级中随机抽取25个学生，从第二个班级中随机抽取31个学生，得到两个班级GPA(平均成绩点数)的样本方差分别为100和132。假设GPA这一随机变量服从正态分布，那么能否能够认为两班级的GPA同方差？,解：F=132/100=1.32查F分布表，第一自由度为30、第二自由度为24，显著性水平为0.1的F值大于为1.31的概率为0.25，如果认为这个概率相当大，则结论为：两总体同方差。,4.5 总结,1.正态分布2.t分布3.分布4.F分布,要求掌握这四种分布的图形特点、性质及适用条件，会通过查表得到相应的值。,作业：第4章习题4.5、4.7、4.13、4.16、4.20,
