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1、第二章 基本几何体的投影,第一节 平面立体的投影,第二节 回转体的投影,第四节 回转切割体的视图,第三节 平面切割体的视图,第一节 平面体的投影,一、常见的平面几何体,它们的表面都是由平面形围成的，因此，绘制平面立体的三视图，实质是画出组成平面立体各表面的平面形及交线的投影。,1.作图：,作图时先画反映底面实形的那个投影，然后再画其它两面投影。,二、六棱柱体的投影,长对正,高平齐,宽相等,4.三视图的投影规律,平面立体的三视图,（一）棱柱三视图例：正六棱柱1.摆放位置：应使立体上尽可能多地为平行或垂直于投影面。选立体上下面平行于水平面位置。2.分析立体：由8个面组成：上下面平行于水平面，前后面
2、平行于正面，左右4个面垂直于水平面。3.画图步骤：（1）画俯视图（2）画主视图（3）画左视图 棱柱投影特点：三视图中，一个为多边形，另两个为多个矩形。,平面立体三视图,用CAXA画,2.平面立体表面上的点：,a,a,b,b,平面立体表面上的点与平面上取点的方法相同，要判别投影的可见性。,立体上点的投影求法：积聚性法（适用于有积聚性的表面点的求解）辅助线法（适用于棱锥上没有积聚性表面上点的求解）辅助面法（适用于圆锥、圆球表面点的求解）,W,X,H,a,O,Y,V,Z,三棱锥的投影,三、三棱锥体的投影,三棱锥体的投影图画法,a,a,b,b,c,(c),S,S,k,k,k,1,1,表面上的点采用辅助
3、线的方法作图。,三棱锥表面上的点,d,d,d,/ab,作法一,作法二,作法三,s,b,s,a,a,c,b,（n）,s,c,a,c,b,(),三棱锥体表面定点,四棱柱体表面定线,b,b,a,c,d,第二节 回转体的投影,一、常见的回转体,回转体一动线绕一定直线旋转而成的曲面，称为回转面。由回转面或回转面与平面所围成的立体称为回转体。,一、圆柱体的投影,1圆柱体的形成 圆柱体由圆柱面及顶、底两平面所围成。圆柱面可以看成是由一直母线绕与它平行的回转轴旋转而成的。,2圆柱体的投影,圆柱体的轴线垂直于水平面时，水平投影为圆；它的正面投影和侧面投影为矩形。画圆柱体的投影图时，首先用细点画线画出中心线和轴线
4、，再画圆，其次画矩形。,圆柱体的投影分析,3圆柱体表面上的点,圆柱体表面上的点：,m,n,n,已知：正面投影上的n、m的投影，求其它两面的投影。,分析：m为可见，在前半圆柱面上，n 为不可见，在后半圆柱面上。其水平投影积聚在圆周上，先求出m、n，再求m、n。,(m),圆柱体表面定线,二、圆锥体的投影,1圆锥体的形成 圆锥体是由圆锥面和底面所围成。圆锥面可以看成是由一条直母线绕与它相交的回转轴旋转而成的。,2圆锥体的投影分析,圆锥体的轴线为铅垂线时，底面为水平面，它在水平面上的投影为圆，这个圆既是圆锥面的投影，也是圆锥底平面的实形投影。圆锥体的正面投影和侧面投影是等腰三角形。,圆锥体表面上的点例
5、：已知圆锥体表面上一点K的正面投影k，求另两个投影。,解1、辅助素线法：过锥顶S和已知点K作直线S1，连sk与底边交于1，然后求出该素线的H面和W面投影s1和s 1，最后由k求出k和k。,1,1,1,k,k,三棱锥表面上的点,d,d,d,/ab,作法一,作法二,作法三,k,k,1,2,解2、辅助圆法：过已知点K作纬圆，该圆垂直于轴线，过k 作纬圆的正面投12，然后作出水平投影k在此圆周上，由k 求出k，最后求出k。,圆锥体表面上的点例：已知圆锥体表面上一点K的正面投影k，求另两个投影。,圆锥体表面定线,圆锥体表面定线,球体的投影分析,球体的三面投影都是直径等于球径的圆。正面投影的圆是球体正面投
6、影的转向轮廓线，也是前后两半球可见与不可见的分界线。,在球面上取点，可通过作辅助圆面法来作图。但请注意，在球面上是不可能作出直线的。,作图：过a作直线OX得水平投影12，正面投影为直径为12的圆，a必在此圆周上。因a可见，位于上半球，求得a，由a、a 求出a，因a 在右半球，所以a不可见。,a,(a),因为b处于正面投影外形轮廓线上，可由b直接求得b、b。,(b),b,1,2,球面上点的投影,球面上点的投影,小结:,掌握基本体的三视图画法及表面找点的方法,1.平面体表面找点，利用平面上找点的方法。,3.圆锥体表面找点，用辅助线法和辅助纬圆法。,2.圆柱体表面找点，利用投影的积聚性。,4.圆球体
7、表面找点利用辅助纬圆法。,第三节 平面切割体的视图,截切用一个与立体相交的平面，截去立体的一部分。,截平面用以截切立体的平面。,截交线截平面与立体表面的交线。,截断面因截平面的截切，在立体上形成的平面。,截断面,概念：,截交线,截平面,截交线的性质：截交线是一封闭的平面多边形，它是截平面与立体表面的共有线。实质：求两平面的交线。求截交线的方法：空间分析：分析截平面与立体的相对位置，确定截交线的形状。分析截平面与投影面的相对位置。确定截交线的投影特性。画投影图：求出平面立体上被截断的各棱线与截平面的交点，然后顺次连直线。求各棱线与截平面的交点的方法是棱线法。,7,6,例：正垂面截切六棱柱，完成截
8、切后的三面投影。,分析：由图可知，截交线的正面投影积聚为一直线。水平投影，除顶面上的截交线外，其余各段截交线都积聚在六边形上。,1,1,2（3）,2,3,4（5）,4,5,1,2,3,4,5,6（7）,6,7,完成后的投影图,例：作四棱柱被截切后的投影。,a,(b),b,a,a,b,分析：四棱柱的上部被一个正垂面和一个侧平面所截切，因四棱柱的四个棱面均垂直于水平面，截平面与棱线的交点均在棱面的投影上。此题还应作出两截平面的交线AB的投影。,B,A,完成后的投影图,1,4,2（3）,1,2,3,1,4,3,2,例 求做立体被截切后的投影,例：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。,注意：要逐个截平面
9、分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。,截平面,截交线,平面与平面相交画法,由立体的轴测图画三视图。,例 补全俯视图和左视图的投影,2（3）,4（5）,6（7）,1,例:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。,P,截交线的形状？,1,5,4,3,2,8,7,6,截交线的投影特性？,2367,18,45,求截交线,1,5,4,7,6,3,2,8,分析棱线的投影,检查截交线的投影,第四节 平面与回转体相交,截交线的性质：,截交线是截平面和回转体表面的共有线，截交线上任意点 都是它们的共有点。,截交线是封闭的平面图形。,截交线的形状，取决于回转体表面的形状及
10、截平面相对于 回转体轴线的位置。,求截交线的方法和步骤：,分析回转体的表面性质、截平面与投影面的相对位置、截 平面与回转体的相对位置，初步判断截交线的形状及其投 影特性。,求出截交线上的点，首先找特殊点，然后补充一般点。,补全轮廓线，光滑地连接各点，得到截交线的投影。,一、平面与圆柱体相交,1、截平面与圆柱轴线平行,截交线为矩形,2、截平面与圆柱轴线垂直,截交线为圆,3、截平面与圆柱轴线倾斜,截交线为椭圆,例:求圆柱被截切后的水平投影和侧面投影.,分析:该圆柱被侧平面截切后,侧面投影为矩形;被水平面截切后,水平投影为圆.,轮廓线要不要？,例、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影
11、。,由于平面与圆柱的轴线斜交，因此截交线为一椭圆。截交线的正面投影重影为一直线，水平投影与圆柱面的投影重影为圆。侧面投影可根据圆柱表面取点的方法求出。,具体步骤如下：,（1）先作出截交线上的特殊点。,（2）再作出适当数量的一般点。,（3）将这些点的投影依次光滑的连接起来。,1,1,6（7）,8,4,5,4（5）,1,4,5,2,2（3）,2,6,7,3,6,（4）补全侧面投影中的转向轮廓线。,3,7,8,8,例题 求圆柱截交线,解题步骤1 分析 截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆；2 求出截交线上的特殊点、；3 求出若干个一般点、；4 光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5 整
12、理轮廓线。,比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。,圆柱切割体的投影,圆柱切割体的投影,例：求左视图,虚实分界点,2,例：求开槽圆柱的左视图。,分析：槽是由三个截平面形成的，左右对称的两个截平面是平行于圆柱轴线的侧平面，它们与圆柱面的截交线均为两条直素线。另一个截平面是垂直于圆柱轴线的水平面，它与圆柱面的截交线为两段圆弧。三个截平面间产生了两条交线，均为正垂线。,1（2）,1,3（4）,4,5（6）,5,6,6,5,3,1,3,4,2,完成后的投影图,截平面垂直于圆锥的轴线,截交线为圆 截平面为圆,二 平面截圆锥,截平面倾斜于圆锥的轴线,截交线为椭圆 截平面为椭圆,=,截平面平行一条
13、素线,截交线为抛物线 截平面为抛物线与直线组成的封闭图形,截平面与轴线平行,截交线为双曲线 截平面为双曲线与直线组成的封闭图形,截平面通过锥顶,截交线为两条直线 截平面为三角形,根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。,例、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。,此种截交线为一椭圆。由于圆锥前后对称，故椭圆也前后对称。椭圆的长轴为截平面与圆锥前后对称面的交线正平线，椭圆的短轴是垂直与长轴的正垂线。,A,B,D,C,具体步骤如下：,（1）先作出截交线上的特殊点。,a,b,a,b,a,b,kl,k,l,c(d),d,c,（2）再作一般点。,（3）依次光滑连接各点，即得
14、截交线的水平投影和侧面投影。,（4）补全侧面转向轮廓线。,k,l,c,d,完成后的三视图,补充例题 求圆锥截交线,解题步骤1 分析 截交线的水平投影为椭圆和直线的组合，侧面投影为椭圆和梯形的组合；2 求出截交线上的特殊点、；3 求出一般点、；4 光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5 整理轮廓线。,w,P,H,P,正平面P截割圆锥的截交线,三、平面与球相交,球体被平面所截，截交线均为圆。由于截平面的位置不同，其截交线的投影可能为直线、圆或椭圆，,球被平面截切，截交线均为圆。由于截平面位置不同，截交线的投影有二种情况：,截平面为平行面，在所平行的投影面上的投影为截交线圆的实形。,三
15、、平面与球体相交,例:求圆球被截切后的水平投影和侧面投影,分析:球面被侧平面截切，侧面投影为圆；球面被水平面截切，水平面投影为圆。,轮廓线要不要?,轮廓线怎样处理?,例：求半球体截切后的俯视图和左视图。,水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。,两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。,补充例题 求圆球截交线,解题步骤1 分析 截交线的水平投影和侧面投影均为圆弧和直线的组合；2 求出截交线上的特殊点、；3 求出各段圆弧；4 判别可见性，整理轮廓线。,截平面为垂直面，在所垂直的投影面上，截交线的投影为直线。在其它投影面上截交线的
16、投影为椭圆。,例：已知圆球体被截切后的正面投影，求作水平投影。,a,b,b,a,e,f,c,d,g(h),g,h,分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影为直线，水平投影为椭圆。,作图：1.求特殊点 截交线的最低点A和最高点B也是最左点和最右点，还是截交线水平投影椭圆短轴的端点，水平投影a、b在其正面投影轮廓线的水平投影上。,ef是截交线与球的水平投影轮廓线的正面投影的交点，其水平投影ef在球的水平投影轮廓线上。,ab的中点 c d是截交线的水平投影椭圆长轴端点的正面投影，其水平投影c、d投影在辅助纬圆上。,2.求一般点 选择适当位置作辅助水平面，与 ab的交点g、h为截交线上两个点的正面投影，
17、其水平投影g、h投影在辅助纬圆上。,e(f),c(d),小结：,一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成的封闭的平面多边形，多边形的边是截平面与棱面的交线。,二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截平面与被截立体轴线的相对位置。,截交线是截平面与回转体表面交线。,三、解题方法与步骤,1.空间及投影分析,2）分析截平面与被截立体对投影面的相对位置以确定截交线 的投影特性。,1）分析截平面与被截立体的相对位置，以确定截交线的形状。,当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊点，再补充中间点最后光滑连接各点。,2.求截交线,当立体被多个截平面截切时，要逐个截平面进行截交线的分析与作图。当只有局部被截切时
18、，先按整体被截切求出截交线，然后再取局部。,求复合回转体的截交线，要先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。,分 析：该立体是在圆柱筒的上部开出一个方槽后形成的。构成方槽的平面为垂直于轴线的水平P和两个平行于轴线的侧平面Q。它们与圆柱体和孔的表面都有交线，平面P与圆柱的交线为圆弧，平面Q与圆柱的交线为直线，平面和Q彼此相交于直线段。,例、补画被挖切后立体的投影。,作图步骤如下：,（1）先作出完整基本形体的三面投影图。,（2）然后作出槽口三面投影图。,(3)作出穿孔的三面投影图。,例、补画被挖切后立体的投影。,例：求左视图,空间及投影分析,求截交线,分析圆柱体轮廓素线的投影,截平面与体的相对位置,截平面与投影面的相对位置,解题步骤：,例：求左视图,
