机电控制系统的数学模型.ppt

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1、第2章 机电控制系统的数学模型,2.1概述 2.2控制系统微分方程与状态空间描述2.3控制系统传递函数与频率特性2.4离散控制系统的数学模型2.5数学模型的MATLAB描述,2.1 概述,数学模型：系统输入与输出之间的因果关系，即描述系统运动规律的数学表达式。为了设计一个机电控制系统，首先需要建立它的数学模型，也就是建模。一旦机电系统的数学模型建立起来，就可以采用各种分析方法和计算机工具对系统进行分析和综合。,数学模型的常见形式：1.输入-输出描述（外部描述）把输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来。如，微分方程、传递函数、差分方程等等。,例：如图电路所示，其微分方程组为,2.状态变量描述

2、（内部描述）不仅可以描述系统的输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性。特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。,输入-输出的微分方程为,输入-输出的传递函数为,3.方框图模型同一控制系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效分析与设计。,传递函数方框图模型,状态结构方框图模型,2.2 控制系统的微分方程与状态空间描述,式中，xi（t）为系统的输入量；xo（t）为系统的输出量；a0、a1、an，b0、b1、bm取决于系统结构、参数的系数。,2.2.1 机电控制系统的微分方程,机电控制系统的输入与输

3、出之间的关系一般可以采用微分方程或微分方程组来描述。线性非齐次微分方程的一般形式可以写成,非齐次方程的一般解（系统的全响应）的形式,当系统输入为零时，将处于自由运动状态（即零输入状态），则数学模型为齐次微分方程，即,系统输出解（响应）稳态分量（xop）瞬态分量（xoh）稳态分量：由控制输入（激励）引起的强迫运动解，取决于系统的输入（控制）量；瞬态分量：齐次解（通解）或自由运动解（零输入解），取决于系统结构或极点(特征根)。当系统稳定时，t，xoh（t）0。自由运动解即系统的自由运动模态（输出响应）描述了系统的固有特性（如稳定性等）。,系统的特征方程为,方程的根即系统的特征根（极点）取决于系统的

4、结构和参数。,系统在某一输入信号的作用下，系统输出量从初始状态到稳定状态的过渡过程称为系统瞬态响应；稳态响应是指t时系统的输出状态，表征系统输出量最终复现输入量的程度。,例：图所示高通滤波电路，求：1）系统零输入时的自由运动方程及其零输入响应；2）输入信号为正弦交流电压时的正弦输入响应。,解：系统的微分方程为,当系统的输入为零：ui(t)0 时，其系统的自由运动方程（齐次微分方程）为,其零输入响应（自由运动模态）为,式中，A为积分常数与系统的初始条件有关。,当系统的输入为正弦交流电压：ui(t)sint 时，拉氏变换为,当系统的输入信号为正弦交流电压时，由系统微分方程两边取拉氏变换得,输出响应

5、的拉氏变换为,式中，a、b、c为Uo(s)的留数，待定系数。,系统的正弦输入时间响应为,由留数定理求得,代入待定系数得系统的正弦输入时间响应为,将上式中第一项和第二项合并,当时间t时，系统的稳态响应为,2.2.2 控制系统的状态空间描述 对一个线性定常系统，用高阶常微分方程或传递函数来描述，反映系统输出响应与输入的关系，也称为外部描述。一般只能处理单输人单输出系统，并且对存在于系统内部的中间变量是不能描述的。现代控制理论引入了状态和状态空间的概念，用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，揭示系统的内部特征，也称为内部描述。可以处理多输人多输出系统，而且还可以方便地处理初始条件。因此，作为根据现

6、代控制理论对控制系统进行分析和综合的前提，必须首先建立控制系统在状态空间中的数学模型，即控制系统的状态空间描述。,1.例子通过下面两个例子说明引人状态空间分析方法建立数学模型的过程以及状态空间的一些基本概念。,(1)R-L-C电网络例u为输入变量，y为输出变量，求它的数学模型,1)用经典法建立高阶微分方程,根据基尔霍夫电路定律，有电压平衡方程,消去中间变量i，得系统的微分方程为,在零初始条件下，用传递函数形式表示为,2)用现代法建立一阶微分方程组,（2）机电系统例 图1-2为直流他励电动机的示意图。,根据电枢回路电压平衡方程，有,根据力矩平衡方程，有,由电动机原理，有,消去中间变量i，得,在零

7、初始条件下，相应的传递函数为,则式(1-5)改写为,写成矩阵方程,建立一阶微分方程组,通过上面两个例子，可得如下几个概念：1)高阶微分方程通过选择适当的变量可变为一阶微分方程组。2)一阶微分方程组的个数等于变量的个数，即等于高阶微分方程的阶数。3)变量的选择不是唯一的，选择的变量不同，得到的方程组也不同。,2.状态变量和状态矢量 状态是指系统的运动状态。状态变量是完全表征系统运动状态的且个数最少的一组变量。n阶微分方程描述的系统有n个独立变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动状态也就被揭示无遗了。因此，n阶系统的状态变量就是系统的n个独立变量。状态变量选取说明如下：1)同一个系统

8、，状态变量的选取不是唯一的。2)状态变量相互独立的，其个数应等于微分方程的阶数。3)状态变量在初始时刻t0的值，就是系统的初始状态，即系统的n个独立初始条件。,则x(t)被称为状态矢量。,3.状态空间和状态空间描述(1)状态空间与状态轨迹 以状态变量x1，x2，xn为坐标轴构成的，n维空间称为状态空间。状态空间中的每 一点都代表了状态变量的唯一的、特定的一组值。换言之，在某一时刻t1的状态矢量x(t1)在状态空间中是一个点，而初始时刻to的状态x(to)是状态空间的一个初始点。随着时间的推移，tto，x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。,状态空间：所有n维状态向量的全体便构成了

9、实数域上的n维状态空间。,状态轨迹：在状态空间中，时间t是一个参变量，某一时间t的状态是状态空间中的一个点，而一段时间下状态的集合称为系统在这一时间段的状态轨迹，有时也称作相轨迹。,（2）输入向量和输出向量,输入向量：将系统的各个输入量看成一个列向量。,：输入量的个数,输出向量：将系统的各个输出量看成一个列向量。,：输出量的个数,主意：系统的状态和系统的输出是两个不同的概念。,系统的输出通常有明确的物理含义，是可以测量的；,系统的状态不一定有物理含义，不一定可以测量；,在线性系统中，输出是系统状态变量中某一个或某几个的线性组合。,用状态变量构成输入、输出与状态之间的关系方程组即为状态空间描述。

10、记为,（1）单输入-单输出线性定常系统 状态空间描述的一般形式为,简洁地写成矩阵形式,式中,前述例：,式中,在状态空间描述中，上述的式(1-6)、式(1-8)和式(1-10)为状态方程，式(1-7)、式(1-9)和式(1-11)为输出方程。,（2）多输入多输出系统 设有r个输入，m个输出，此时状态空间描述为,写成矩阵形式为,式中,x和A与单变量(单输入-单输出)系统相同，分别为n维状态矢量和nn系统矩阵；,同样，状态空间描述由式(1-12)状态方程和式(1-13)输出方程组成。传递函数和状态空间描述如图所示。从状态空间描述和系统框图都能清楚地说明，它们既表征了输人对于系统内部状态的因果关系，又

11、反映了内部状态对于外部输出的影响，即完全表征系统的一切动力学特征，所以状态空间描述是对系统的一种完全的描述。,传递函数只能描述系统外部的输入输出关系，并不能反映系统内部状态的变化，我们称之为外部描述。,状态空间表达式将输入输出间的信息传递分为两段来描述。第一段是输入引起系统内部状态发生变化，用状态方程描述；第二段是系统内部的状态变化引起系统输出的变化，用输出方程描述。由此可见，状态空间表达式在一定程度上描述了系统内部变量的变化，所以我们称之为内部描述。,例：求前述例1的另一状态方程。,系统的微分方程为,设状态变量：,即系统的状态方程为：,系统的输出方程为：,其矩阵方程为:,式中，,在状态空间分

12、析中，常用状态结构图来反映系统各状态变量之间的信息传递关系。,4.状态结构图,和经典控制理论相类似，可以用框图表示系统信号的传递关系。,单变量系统,图中用单线箭头表示标量信号传递，用双线箭头表示矢量信号传递。从状态空间描述和系统框图都能清楚地说明，它们既表征了输人对于系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响，即完全表征系统的一切动力学特征，所以状态空间描述是对系统的一种完全的描述。,多变量系统,例-1 一阶微分方程,例-2二阶微分方程,例-3 已知三阶单变量系统的状态空间描述为,例 试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。,5.传递函数矩阵,例：系统如下图所示，输入为 和

13、，输出为。,解：列写回路的电压方程和节点的电流方程,选取 为状态变量，输出，得系统的状态空间表达式为,设初始条件为零，对上式两端进行拉普拉斯变换，得,消去 并整理得,写成向量矩阵形式为,其中,输入变量的Laplace变换象函数,输出变量的Laplace变换象函数,传递函数矩阵,传递函数矩阵,维输入向量,维输出向量,则对应的系统的传递函数矩阵为,多输入量多输出量的对象常用复线框来表示,6.传递函数矩阵与状态空间表达式之间的关系,所以,特征方程为,因为,设系统的动态方程为试求该系统的传递函数矩阵。,例:,解:,已知,故,设系统的状态方程为,试求系统的特征方程和特征值。,例:,系统的特征方程为,解:

14、,特征方程的根为-1、-2和-3。矩阵A的特征值也为-1、-2和-3。两者是一样的。,例：求下列系统的传递函数矩阵。,其中,解：,例：求下列系统的传递函数矩阵。,其中,解：,2.3 机电控制系统的传递函数与频率特性,2.3.1 传递函数的表示形式1.基本模型,与微分方程式的对应：,式中，a0、a1、an，b0、b1、bm取决于系统结构、参数的系数。,2.传递函数的零点、极点模型,为传递函数的零点,为传递函数的极点,为系统的传递系数或根轨迹增益系数,极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。,系统的特征方程为,特征根（极点）为,3.传递函数的时间常数（归一化）模型,为传递函数

15、的时间常数；,为传递函数的静态（稳态）放大系数或增益。,静态（稳态）放大系数与传递（根轨迹增益）系数之间的关系为,2.3.2 闭环控制系统传递函数 在对机电控制系统性能进行分析时，需要建立开环极点、闭环极点以及增益等之间的关系。1.传递函数关系系统闭环传递函数为,闭环系统的方框图,前向通道传递函数为,反馈通道传递函数为,2.闭环特征函数,闭环特征函数F(s)的特点：1)F(s)的零点为系统闭环极点，F(s)的极点是系统开环极点；2)F(s)分子和分母的阶数相等，闭环极点和开环极点数相同；3)F(s)与开环传递函数Gk(s)相差一常数“1”，即F(s)1 Gk(s),2.3.3 机电控制系统的频

16、率特性,1.频率响应频率响应是控制系统在谐波（正弦）信号激励下的输出响应。对于稳定系统，系统达到稳态时，其自由运动模态将衰减为零,例：图所示高通滤波电路，求输入信号为正弦交流电压时的正弦输入响应。,解：系统的微分方程为,当系统的输入信号为正弦交流电压时，由系统微分方程两边取拉氏变换得传递函数,当系统的输入为正弦交流电压：ui(t)Aisint 时，拉氏变换为,输出响应的拉氏变换为,式中，a、b、c为Uo(s)的留数，待定系数。,系统的正弦输入时间响应为,由留数定理求得,代入待定系数得系统的正弦输入时间响应为,将上式中第一项和第二项合并,当时间t时，系统的稳态响应为,可见，系统的频率响应的幅值随

17、输入信号频率变化而变化，其相位也是随输入信号的频率变化而变化。当频率趋近无穷大时输出幅值才与输入幅值相等。,2.频率特性及图形表示,(1)系统的频率特性由上例可得：1）系统的稳态频率响应是和输入具有相同频率的正弦信号，可表示为：2）其输出与输入的幅值比定义为系统的幅频特性，即,3）输出与输入的相位差定义为系统的相频特性，即,由此得到实频特性和虚频特性为,将幅频特性和相频特性组成的矢量即为系统的幅相频特性，即,幅相频特性与传递函数的关系：,各频率特性之间的关系由图可得：,(2)频率特性的物理意义,A()是表示系统输出信号幅值的衰减或放大特性；而相频特性()是表示其输出信号相位产生超前()0或滞后

18、()0的特性。,（3）频率特性图及性能参数,频率特性图包括极坐标图和对数频率特性图。,1）极坐标图(Nyquist图),2)对数坐标图（博德图）,对数频率特性曲线,对数幅频特性,相频特性,(),对数幅频特性曲线与零分贝线（横坐标）相交处的频率。,幅值,对数,2.4 机电离散控制系统的数学模型,图2.4.1 计算机采样控制系统,计算机控制系统原理,在计算机采样控制系统中，因为在计算机内参与运算的信号是二进制数码，所以要利用计算机来实现系统的控制目标，首先要在控制系统中通过模数转换器(AD)，把控制目标的连续信号转换成数字信号，送给计算机构成的数字控制器，经过数字控制器的数字计算，给出的控制信号也

19、是数字量，然后再通过数模转换器(DA)，使数字量恢复成连续的控制作用，再去控制被控对象。,在分析采样控制系统时，把AD和DA的工作过程理想化，即认为AD转换相当于一个每隔T秒瞬时接通一次的理想采样开关，它把连续信号变成数字信号；而DA转换则近似于一个保持器，它把数字信号变成连续信号。,图2.4.2 采样控制系统结构图,由于在离散系统中存在着脉冲或离散的数字信号以及信号的变换过程，因此，在研究这种系统时，虽在一定程度上可以借鉴在连续系统中应用的一些成熟的方法，但仍然有它本身的特殊性，必须对其进行单独讨论。,信号的采样与复原,1.信号的采样,信号采样过程，就是按照一定的时间间隔对系统中的连续信号进

20、行采样，将连续信号变换为时间上离散的脉冲序列的过程。用来实现采样过程的装置称为采样器或采样开关，它可以用一个按一定周期（即采样周期）进行闭合操作的开关来表示。采样开关的采样周期为T，采样开关的采样周期为T，每次闭合时间为，如图所示。通常远小于采样周期T和系统中连续部分的时间常数，可以近似的认为0。,（1）信号采样过程,图2.4.3 模拟信号的采样,采样过程可以看成是一个电子系统中的脉冲调制过程。理想的采样器等效于一个理想的单位脉冲序列发生器，它能够产生单位脉冲序列，如图所示。单位脉冲序列 的数学表达式为,k=0，1，2为整数(2.4.1),式中，T为采样周期。,根据图，的数学表达形式可写成：,

21、(2.4.2),图2.4.4 单位脉冲序列和采样信号的调制,可见，满足单位脉冲函数定义的脉冲串 相当于一种载波信号。实际系统中 t0时，所以上式可改写为,综上所述，采样过程相当于一个脉冲调制过程，采样开关的输出信号 可表示为两个函数的乘积，其中载波信号 决定输出函数存在的时刻，而采样信号的幅值由输入信号 决定。,(2.4.3),式中,傅里叶系数；,（2）采样定理,(1)采样信号拉氏变换与连续信号拉氏变换之间关系,因为理想单位脉冲序列 是一个以T为周期的函数，可以展开为傅里叶级数，其复数形式为,代入,有,(2.4.4),(2.4.5),为采样角频率。,上式反映了采样函数的拉氏变换式 和连续函数拉

22、氏变换式 之间的关系，这表明 是s的周期性函数。,故 的拉氏变换为,(2.4.6),用 代入上式，得到采样信号的傅里叶变换：,(2.4.7),上式反映了采样后的离散信号频谱与连续信号频谱之间的关系。通常，连续函数e(t)的频带宽度有限，其最大截止频率为max，为一孤立的频谱，如图2.4.5a所示。由图2.4.5可见，相邻两部分频谱互不重叠的条件是 s2max(2.4.8),采样之后，离散序列 的频谱是无限多个频谱的周期重复，其幅值 为的1/T，周期为s，k=0时为主频谱。如图所示,根据采样频率s的大小，可能有两种情况，1）当s2max，采样信号的频谱不会发生重迭；2）当s2max，采样信号的频

23、谱发生重迭。,香农采样定理的物理意义即是对最高频率的正弦信号，在一个周期内至少应采样两次(正负值各采样一次)。香农采样定理是选择采样周期的一个重要依据。,为使采样后的信号不丢失原连续信号的信息，或者说为了能将采样后的离散信号恢复为原连续信号，必须使采样信号的频谱中各部分相互不重叠，这样就可以采用一个低通滤波器滤掉所有的高频分量，只保留主频谱，这个低通滤波器就是下面要介绍的将离散信号恢复成连续信号的零阶保持器。根据采样定理，在s2max的条件下，离散信号频谱中各分量彼此互不重叠，采用理想的低通滤波器滤去各高频分量，保留主频谱，就可以无失真地恢复为原连续信号。但上述理想滤波器在实际上难以实现，因此

24、，必须寻找在特性上比较接近理想滤波器，而实际上又可以实现的滤波器，在采样控制中应用的保持器就是这种实际的滤波器。保持器是一种采用时域外推原理的装置。结构最简单，应用最广泛的是零阶保持器。微型计算机输出通道中的 DA转换器就是零阶保持器。,2.信号的复原,（1）零阶保持器概念,零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器。它的作用是把采样时刻kT的采样值e(kT)恒定不变地保持(外推)到下一采样时刻(k+1)T。也就是说，在时间tkT，(k+1)T区间内，它的输出量一直保持为e(kT)这个值。其输入信号和输出信号的关系如图所示。零阶保持器的输出信号是阶梯形的，包含着高次谐波，与要恢复的连续信号是有一些区

25、别的。若将阶梯形输出信号的各中点连接起来，可以得到一条比连续信号迟后T/2的曲线，这反映了零阶保持器的相位滞后特性。,图2.4.6 连续信号与采样信号,（2）零阶保持器的传递函数,当零阶保持器的输入为单位脉冲时，其输出是一个高度为1，宽度为T的矩形波，即零阶保持器的单位脉冲响应gh(t)。它可以分解为两个单位阶跃函数的叠加（图所示）：gh(T)=1(t)-1(t-T),图2.4.7 零阶保持器单位脉冲响应,(2.4.9),此即是零阶保持器的传递函数。,零阶保持器单位脉冲响应的拉氏变换式为,令式(2.4.9)中，可求得零阶保持器的频率特性为,（3）零阶保持器的频率特性,(2.4.10),(2.4

26、.11),幅频特性和相频特性分别为,零阶保持器的幅频特性，其幅值随着频率的增大而衰减，具有明显的低通滤波特性，主频谱与连续信号相似，但还存在一些高频分量。因此，其转换后的连续信号与原来的信号是有些差别的。此外，由相频特性可见，采用零阶保持器还将产生相角滞后，对稳定性不利。T越小，采样系统越接近于连续系统，但计算机负担加重，对计算机运算速度等要求越高。,2.4.2 Z变换与Z反变换,在传统连续系统的控制器设计与分析中，一般应用微分方程、系统的传递函数和频率特性等方法进行研究，其中最重要的工具就是拉氏变换。一个连续信号f(t)的拉氏变换是复变量s的有理分式函数，微分方程通过拉氏变换后也可以转换为s

27、的代数方程，从而大大简化微分方程的求解，方便得到系统的频率特性。而在采样控制系统中存在着脉冲或数字的离散信号以及离散信号与连续信号的变换过程，因此，如果仍沿用拉氏变换得到的传递函数来分析系统，那么拉氏变换就会在运算中给我们带来复变量的超越函数，使得计算与分析难以顺利进行。为了避免这种情况出现，用一种新的工具z变换替代拉氏变换，用差分方程或z传递函数来描述采样控制系统的数学模型。,1.Z变换的定义,对于连续函数，它的拉氏变换为：,x(t)的采样信号为,(2.4.13),(2.4.14),上式中的 是s的超越函数，不便于直接进行运算。因此，我们引入一个新的复变量，将它代人式(2.4.14)得,取拉

28、氏变换则为,(2.4.15),定义式(2.4.15)为采样函数 的z变换，记为。,由上述z变换的定义可见，z变换实际是拉氏变换的一种变形。严格地讲，z变换只适用于使用离散信号的情况，即z变换式只表征了连续函数在采样时刻的特性，而不能反映采样时刻之间的特性。但人们往往根据习惯称 是 的z变换，这实质上是 指经过采样之后得到的 的z变换。,因为z变换是对采样时刻而言，所以 的z变换就是 的z变换。通常把采样周期T当作一个单位，并将 简记为，这样，采样序列的z变换即定义为,(2.4.16),因而,这是复变量 的幂级数，只有当其收敛时，才能求得其简短的封闭形式。,例2.4.1 求单位跃阶函数的z变换。

29、说明：如果能够知道连续函数x(t)在各采样时刻的离散值x(kT)，可以按照定义求x(t)的z变换。解：单位跃阶函数在各个采样时刻的值均为1，因此,当，即 时，级数收敛。,例2.4.2 求函数e-at的z变换。,解：,例2.4.3 已知连续函数x(t)的拉氏变换为，求函数的z变换。,其中，pi是X(s)的极点，ai为极点pi的留数，而 所对应的时间函数为，由上例可知其z变换为，因此，相应于x(t)的z变换为,解：如果连续函数x(t)的拉氏变换X(s)为s的有理函数，并且X(s)的分母多项式能够分解因式时，可以将X(s)展开成部分分式，即,解:因为，又拉氏反变换得,所以,2.Z变换的性质,与拉氏变

30、换相类似，z变换也有一些基本定理，根据这些定理，加上熟悉表列出的一些简单函数的z变换，则可以方便地求出一些复杂函数的z变换。,（1）线性定理,设函数，则,即各函数线性组合的z变换，等于各函数z变换的线性组合。这由定理很容易证明，这里就不给出详细证明过程。,（2）滞后定理,设在 时连续函数，其z变换为，则,迟后定理说明，原函数在时域中延时m个采样周期，相当于其z变换乘以。由此可见算子 的物理意义，即是把采样信号延时m个采样周期，代表迟后环节。,（3）超前定理,设在 时连续函数，其z变换为，则,在特殊情况下，若 则超前定理为,（4）初值定理,设函数 的z变换为，并且 存在，则,设函数 的z变换为，

31、则,（5）终值定理,终值定理常用于计算采样控制系统的稳态误差。,3.Z反变换,所谓z反变换，就是根据，求出 或者，记作,或,得到了 或，通常也就得到了。,下面介绍三种常用的求解z反变换的方法。,（1）幂级数法(长除法),X(z)的一般表达式为,根据X(z)的定义，z-k的系数ck就是x(k)，对上式z反变换为，,用分子除以分母可得,这种方法适用于简单的函数，但难以求得 的简短的封闭形式。,例2.4.4 求 的z反变换式。,解：因为,由z变换定义得,即,（2）部分分式法,采用部分分式法可以求出离散函数的闭合形式，其方法与求拉氏反变换的部分分式法类似。稍有不同的是，由于X(z)的分子中通常都含有z

32、，因此应将X(z)除以z，然后展开为部分分式，再根据z变换表写出起原函数。,1）如X(z)的极点互异，则,式中，zj是 的极点，Aj是相应于zj的留数,式中，zj是 的单极点，Aj是相应于zj的留数；zi是 的重极点，r是它的阶次，Bk为对应的留数：,2）如X(z)含有重极点，则,例 用部分分式法求 的反变换式。,解：,（3）留数法,已知，则通过复变函数中的某些定理进行演算，可得计算公式,式中，Res表示函数在极点处的留数，zm是X(z)zk-1的极点，m是极点数。,1)对于单重极点，,2)如果X(z)zk-1在z=zm处有r阶重极点，则,例 已知，试求x(kT)。,解：,2.4.3 离散系统

33、的差分方程,线性采样系统通常采用差分方程和z传递函数这两种重要的数学工具来进行分析处理，上一节介绍了z传递函数的相关知识，本节将继续讨论采样系统的差分方程。,1.差分方程的数学描述,如将连续系统离散化，则可将各阶微分用各阶差分近似代替，从而得到用输出、输入信号的离散序列及其各阶差分所描述的系统运动方程，如下所示：,或,式中，(i=0，1，n；j=0，1，m)分别表示输出、输入信号的各阶前向差分；，分别表示输出、输入信号的各阶后向差分。以输出为例的各阶差分如下：,一阶前向差分为：,二阶前向差分为：,n阶前向差分为：,一阶后向差分为：,二阶后向差分为：,n阶后向差分为：,从而得到相应的系统前向差分

34、方程和后向差分方程如下：,或,差分方程左边为输出在各个采样时刻的值，下脚标降次排列，方程右边为输入信号在各个采样时刻的值，下脚标也降次排列。其中n是差分方程的阶数，等于输出变量序号的最高值与最低值之差。,2.差分方程的求解,以上介绍了差分方程的概念和差分方程的求取。在实际应用中，我们常利用z传递函数的概念，首先求出系统的z传递函数，然后利用z反变换，求出系统的后向差分方程，最终使用计算机迭代算法方便地求解出结果。,（1）迭代法解差分方程,迭代法是将给定的初始条件代入差分方程，依次迭代从而得到方程的解。使用迭代法得到的解是一个数字序列，它是系统的输出信号的在采样时刻的幅值。,例 已知系统的一阶差

35、分方程为,输入为单位阶跃函数，即,解：根据给出的差分方程有,将初始条件代入上式可以得到：,由此可以看出此系统对于单位阶跃输出的响应为不衰减的等幅振荡输出。,（2）Z变换法解差分方程,利用超前定理可以得到：,将差分方程式逐项求z变换，得到输出信号的z变换表达式，然后求z反变换，就可以得到差分方程的解。利用这种方法可以求得系统采样输出信号的解析表达式。,例 已知系统的差分方程为,用z变换法求解差分方程。,解:对方程两边取z变换，得到,整理得,通过z反变换得到,脉冲传递函数,要对采样控制系统进行分析研究，首先要建立它的数学模型。与连续系统相类似，线性采样系统通常采用差分方程和脉冲传递函数来进行数学描

36、述，上一节介绍了差分方程的有关知识，本节将继续讨论采样系统的脉冲传递函数。,1.脉冲传递函数的定义,(1)脉冲传递函数定义,如前所述，线性定常离散控制系统的差分方程一般形式为,或,式中n m，这说明当前的输出只与过去的输入输出数据有关，这是符合系统的物理意义的。对上面式子取z变换，并假设初始条件为零，则可以得到,线性定常离散控制系统，在零初始条件下，输出信号序列的z变换与输入信号序列的z变换之比，即为系统的脉冲传递函数，或者叫z传递函数。z-(n-m)表示了输出迟后于输入n-m个采样周期。,如图a所示，若已知系统的G(z)和输入r(t)或R(z)，就可以 由 和，求出输出C(z)或c*(t)，

37、此为零状态响应。在实际中，许多采样系统的输出信号是连续信号（如图b所示），在这种情况下，为了应用脉冲传递函数的概念，可以在输出端虚设一个采样开关，并令其采样周期与输入端采样开关的周期相同。,(2)脉冲传递函数的物理意义,假设k=0 时，在系统输入端施加单位脉冲信号，则定义系统的输出响应序列叫做单位脉冲响应序列g(kT)，即有,，而,故,因此,可见，脉冲传递函数就是单位脉冲响应序列的z变换，这就是脉冲传递函数的物理意义。,由上式也可以看出，系统响应速度越快，即其单位脉冲响应g(t)越快衰减到零，则相应的脉冲传递函数G(z)的展开式中包含的项数越少。,2.脉冲传递函数的求解方法,1)若已知系统连续

38、部分的传递函数G(s)或脉冲响应函数g(t)，则对G(s)进行z变换或利用 就可求得G(z)。,2)若已知系统的差分方程，则可对差分方程进行z变换，从而求得脉冲传递函数。反之若已知系统的z脉冲传递函数，则可利用z反变换求得系统的差分方程。这就是脉冲传递函数与差分方程之间的关系。,例已知系统的差分方程为,求系统的脉冲传递函数。,解:对差分方程两边取z变换，得到,系统的脉冲传递函数为,3.脉冲传递函数的连接方式,实际采样控制系统通常都是由一些子系统组成的，这些子系统之间又以一定的方式相互联系，常见的联系方式有串联、并联和反馈。下面首先讨论串联和并联采样控制系统的脉冲传递函数。,(1)串联采样系统的

39、脉冲传递函数,串联系统,例 设在上图中，求系统的开环脉冲传递函数。,两个子系统串联的情况如图所示，此时系统的脉冲传递函数为：,上式表明，有采样开关分隔的两个环节串联时，其脉冲传递函数等于两个环节的脉冲传递函数之积。上述结论可推广到有采样开关隔离的n个环节串联的情况。,解:,（2）并联采样系统的脉冲传递函数,两个子系统并联的情况如图所示，此时系统的脉冲传递函数为：,上式表明，有采样开关分隔的两个环节并联时，其脉冲传递函数等于两个环节的脉冲传递函数之和。上述结论可推广到有采样开关隔离的n个环节并联的情况。,并联系统,4.闭环系统的脉冲传递函数,前面介绍了采样控制系统串联和并联联系下的脉冲传递函数计

40、算方法，下面介绍采样控制系统反馈联接的脉冲传递函数计算方法。反馈联系存在于闭环采样控制系统中，根据子系统的传递函数去求闭环系统总的脉冲传递函数的运算规则基本上和连续系统中的运算规则相同，但由于采样开关位置不同，系统结构有异，其闭环脉冲传递函数的结果是不一样的。,闭环采样系统,上图是比较常见的闭环采样控制系统的结构图，图中输入端和输出端的采样开关是为了分析方便而虚设的。由图可知,E(s)=R(s)H(s)C(s)，C(s)=G(s)E*(s),合并两式得,E(s)=R(s)-G(s)H(s)E*(s),求上式的拉氏变换，则有,或,考虑到输出信号采样后的拉氏变换为,则得,写成z变换形式，即得闭环脉

41、冲传递函数,对于单位反馈系统，则有,num=b0，b1，bm；dena0，a1，an；G(s)=tfnmu，den,2.5数学模型的MATLAB描述,传递函数模型,1.分子、分母多项式模型,连续系统 离散系统,为采样时间,例,num2 1；den=4 3 2 0G=tf(num,den),执行后得到如下结果：Transfer function:2s+1-4s3+3s2+2s,z=z0，z1，zm；p=p0，p1，pm；k=k G(s)=zpk(z，p，k),2.零极点增益模型,3.部分分式展开模型,连续系统 离散系统,例,z=1；p=0 2 3；k=2；G=zpk(z,p,k),执行后得到如下

42、结果：Zero/pole/gain:2(s+1)-s(s+2)(s-3),例,num=b0,b1,bm；den=a0,a1,an 命令r,p,k=residue(num,den),z=z0，z1，zm；p=p0，p1，pm；k=k 命令 num,den=residue(r,p,k),num=3 7 4 7；den=1 6 11 6；r,p,k=residue(num,den)执行后得到如下结果：r=16.000 1.000 3.000p=3.000 2.000 1.000k=3,例,解 本题的MATLAB程序为r=5 3 2；p=4 3 2；k=4；num,den=residue(r,p,k)

43、执行后得到如下结果：num=4 46 161 174den=1 9 26 24即：,4.复杂传递函数求取,例,5.由方框图求传递函数,解 本题的MATLAB程序为num=6*2 1 1;den=conv(conv(conv(2 4 1,2 4 1),2 7 6 4),2 3)；G=tf(num,den)执行后得到如下结果：,Transfer function:12 s2+6 s+6-16 s8+144 s7+532 s6+1064 s5+1288 s4+996 s3+481 s2+122 s+12,解：G1=tf(1,1,10);G2=tf(1,1,1);G3=tf(1,1,1,4,4);G4

44、=tf(1,1,1,6);H1=tf(1,1,1,2);H2=2;H3=1;G34=feedback(G3*G4,H1,1);G234=feedback(G2*G34,H2/G4,-1);G1234=feedback(G1*G234,H3,-1),Transfer function:s4+5 s3+9 s2+7 s+2-s7+23 s6+200 s5+899 s4+2289 s3+3284 s2+2428 s+712,状态空间模型,模型之间的转换,命令各式：ss(A,B,C,D),连续系统 离散系统,频率特性模型,1.绘制系统的波特图,连续系统,离散系统,2.绘制奈奎斯特图,连续系统,离散系统,其中，输出变量re，im分别为nyqpist图的实部和虚部。,4.求系统的特征多项式的根,其中，输入变量c为特征多项式的系数。,3.求幅增益裕量和相位裕量，幅值和相位交界频率,该函数直接由系统的传递函数来求取系统的幅值裕量gm和相位裕量pm，并求出幅值裕量和相位裕量处相应的穿越频率值wcg和wcp。,5.求系统的根轨迹,控制仿真集成环境,