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1、椭圆及其标准方程,授课人：贾爱玲,2013年11月12日,子洲中学,人教版高中数学第二册(上),一、实践操作,取一条一定长的细绳,把它的两端固定在作业本上的两点F1和F2,当绳长大于 F1和F2的距离时,用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在作业本上慢慢移动，就可以画出一条曲线。,平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆。,这两个定点叫做椭圆的焦点，,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.,注意：,3常数要大于焦距,2动点 M 与两个定点F1和F2的距离的和是常数,二、椭圆的定义,1平面内-这是大前提,大于|F1F2|,平面内,大于|F1F2|,思考:若定义中没有大于|F1F2|这个条件
2、,那么轨迹还是椭圆吗?,椭圆:平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.,若|MF1|+|MF2|F1F2|,轨迹为椭圆;若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,轨迹为线段F1F2;若|MF1|+|MF2|F1F2|,轨迹不存在.,建系设点,写出点集,列出方程,化简方程,检验,三、椭圆的标准方程,想一想？,如何求曲线的方程呢？,1.椭圆的标准方程的推导,3)列出方程:,4)化简方程：,即,移项得,平方整理得,再平方得,三、椭圆的标准方程,1.椭圆的标准方程的推导,1)建系设点：,以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2垂直平分线为y轴，建立坐标系。,又设M与F
3、1、F2距离之和等于2a,|F1F2|=2c(c0),设M(x,y)为椭圆上的任意一点，,则F1(-c,0)、F2(c,0),2)写出点集：,椭圆的集合为:,三、椭圆的标准方程,1.椭圆的标准方程的推导,令,其中,代入上式，得,即,焦点是F1(-c,0)、F2(c,0),该方程叫做椭圆的标准方程。,这里，,三、椭圆的标准方程,1.椭圆的标准方程的推导,它表示的椭圆焦点在y轴上，且 F1(0,-c)、F2(0,c),若如图建系,这个方程也是椭圆的标准方程。,三、椭圆的标准方程,1.椭圆的标准方程的推导,ab0,aco,a2=b2+c2.,x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上.,思考一:椭
4、圆的标准方程中三个参数a、b、c的关系怎样?,三、椭圆的标准方程,2.两种标准方程的比较,思考二:如何由标准方程判定焦点位置?,典例分析,例1 判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距。,（1）y轴（0,1）（0,-1）,（2）x轴,例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程。,已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；,典例分析,解：因为椭圆的焦点在x轴上，,所以设它的标准方程为,所求的椭圆的标准方程为,例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程。,已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；,典例分析,变题
5、一:若将例2焦点改为(0，-4)、(0，4)结果如何？,变题二：将例2改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果会怎样？,典例分析,例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程。,已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；,随堂练习,1.如果椭圆 上一点P到焦点F1的距 离等于6,则点P到另一个焦点F2的距离是。,14,应用举例,a3,0b9,随堂练习,2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1),焦点在x轴上；(2).,1）椭圆的定义,当焦点在x轴上时,当焦点在y轴上时,2）椭圆的标准方程,3）求椭圆标准方程的方法:,待定系数法,尝试回忆,
