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1、,概率论与数理统计第十讲,主讲教师：柴中林副教授,中国计量学院理学院,3.6 随机变量的独立性,事件A与 B独立的定义是：,若 P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立。,设 X,Y是两个随即变量,对任意的 x,y,若,则称 X与Y 相互独立。,用联合分布函数与边缘分布函数表示上式,就是,若(X,Y)是连续型随机向量，上述独立性定义等价于：对任意 x,y R,有,这里“几乎总成立”的含义是：在平面上除去一个面积为零的集合外，公式成立。,分别是X的边缘密度和Y 的边缘密度。,几乎总成立,则称X与Y相互独立。,若(X,Y)是离散型随机变量，则上述独立性定义等价于：对(X,Y)所有可能取
2、值(xi,yj),有,成立，,则称 X与Y 相互独立。,例1:仍考虑从1,2,3,4中取数的例子，其中的X与Y是否独立.,因为0=P(X=1,Y=2)P(X=1)P(Y=2)=(1/4)(13/48).故，X和Y不相互独立。,证明：因,例2：设(X,Y)N(1,2,1,2,),求证:X与Y 独立的充要条件为=0。,“”将=0代入联合概率密度函数，得,所以，X与Y相互独立。,“”若X和Y相互独立，则(x,y)R2，有 f(x,y)=f X(x)f Y(y).,从而，=0。,特别地，将 x=1,y=2 代入上式，有 f(1,2)=fX(1)fY(2)，即,解:,从而，对一切 x,yR,均有 f(x
3、,y)=f X(x)f Y(y).,故，X与Y是相互独立的。,例3：设(X,Y)的概率密度为,问：X与Y是否独立？,解：,由于存在面积不为零的区域 D，使得,故，X与Y不相互独立。,例4：若(X,Y)的概率密度为,问X与Y是否独立？,3.7.1 离散型分布情形,例1：若X与Y独立，且 P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求 Z=X+Y 的概率分布。,解：,3.7 随机变量函数的分布,证明:依题意，有,由卷积公式,得,即 Z 服从参数为 的泊松分布。,设X和Y的联合密度为 f(x,y),求 Z=X+Y 的概率密度。,因 Z=X+Y 的分布函数是:FZ(z)=P
4、(Zz)=P(X+Y z),这里积分区域 D=(x,y):x+y z，是直线 x+y=z 左下方的半平面。,3.7.2 连续型分布的情形,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令 x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系,即得 Z=X+Y 的概率密度,由X和Y的对称性,知 fZ(z)又可写成,以上两式就是两个随机变量和的概率密度的一般公式。,特别地,当X和Y独立,设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x)和fY(y),上述两式化成:,这两个公式称为卷积公式。,下面考虑用卷积公式求 Z=X+Y 的概率密度的方法。,易知Z0,2，从而当Z0,2
5、时，fZ(z)=0。其实，我们也可具体求出。当z0时,解:由卷积公式，得,容易明白，对前一个积分有fX(x)=0，而对后一个积分有fY(z-x)=0，从而fZ(z)=0,当z2时,容易明白，对中间一个积分有fY(z-x)=0，而对另外两个积分有fX(x)=0，从而fZ(z)=0,当1z0时有,当2z1时有,所以,例4:设X和Y相互独立,均服从标准正态分布，求 Z=X+Y的概率密度。,解:由卷积公式，对-z，有,因为,于是,进一步可以证明：若X和Y 相互独立，且,这表明：Z N(0,2)。,例5：设某种商品在一周内的需要量是一个随机变量，概率密度函数为,如果各周的需要量相互独立，求两周需要量的概
6、率密度函数。,解：分别用X和Y表示该种商品在第一、第二周内的需要量，则其概率密度函数分别为,两周需要量 Z=X+Y,概率密度函数为,被积函数不为零。,当 z0 时，,因此，,当 z 0 时，,0,0,所以，Z 的概率密度为,3.7.3 M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布,设X，Y是两个相互独立的随机变量，分布函数分别为FX(x)和FY(y)。求 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数。,再由X 和Y 相互独立，得到 M=max(X,Y)的分布函数为:,即 FM(z)=FX(z)FY(z).,FM(z)=P(Mz)=P(Xz,Yz),=P(Xz)P(Yz).,分析：
7、由于“M=max(X,Y)z”等价于“Xz,Yz”，故有,P(Mz)=P(Xz,Yz).,类似地，可得 N=min(X,Y)的分布函数,下面进行推广到 n 个相互独立的随机变量的情况。,即有 FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)=FX(z)+FY(z)-FX(z)FY(z).,=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz)=1-P(Nz),=1-P(Xz)P(Yz).,设X1,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,分布函数分别为,用与二维时完全类似的方法，可得：,N=min(X1,Xn)的分布函数为,M=max(X1,Xn)的分布函数为,特别地，当X1,Xn相互独立，且具有相同分布函数
8、F(x)时，有,FM(z)=F(z)n，FN(z)=1-1-F(z)n.,需要指出的是:当X1,Xn相互独立，且具有相同分布函数 F(x)时，常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值分布。,桥梁或铸件所承受的最大应力、洪峰的高度、地震的震级等都用极值分布来描述。故，研究极值分布有重要意义。,例 6：如图所示,系统L 由两个相互独立的子系统 L1,L2 联接而成,联接方式分别为:(1).串联；(2).并联；(3).备用(开关完全可靠，子系统 L2在储备期内不失效，当L1.损坏时,L2开始工作)。,解：先求X,Y的分布函数,设L1,L2的寿命分别为X和Y，概率密度分别为:,其中0,0,且为常数。分别对以上三种联接方式写出系统寿命Z 的概率密度。,(1).串联时，Z=minX,Y，FZ(z)=1-1-FX(z)1-FY(z),(2).并联时，Z=maxX,Y FZ(z)=FX(z)FY(z),当 z 0时，有,(3).备用时，Z=X+Y，,当 z0 时，fZ(z)=0；,小结,这一讲首先介绍两个随机变量相互独立的概念，给出各种情况下两个随机变量相互独立的充要条件；然后介绍求两个随机变量和的分布、两个独立随机变量极大值分布和极小值分布的原理和方法。,
