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1、,概率论与数理统计第八讲,主讲教师：柴中林副教授,中国计量学院理学院,第三章 随机向量,有些随机现象只用一个随机变量来描述是不够的，需要用几个随机变量来同时描述。,3.导弹在空中位置坐标(X,Y,Z)。,1.某人体检数据血压X和心律Y；,例如：,2.钢的基本指标含碳量 X，含硫量 Y和 硬度 Z；,一般地,将随机试验涉及到的 n 个随机量 X1,X2,Xn 放在一起，记成(X1,X2,Xn)，称 n 维随机向量(或变量)。,由于从二维随机向量推广到多维随机向量并无实质性困难，所以，我们着重讨论二维随机向量。,3.1 二维随机向量及其分布函数,设试验E的样本空间为，X=X()与Y=Y()是定义在
2、上的两个随机变量,由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机向量。二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X 和Y 的性质有关，而且还依赖于X和Y之间的相互关系。因此，必须把(X,Y)作为一个整体来看待，加以研究。为此，首先引入二维随机向量(X,Y)的分布函数的概念。,定义二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为,取定x0,y0R=(-,),F(x0,y0)就是点(X,Y)落在平面上，以(x0,y0)为顶点，且位于该点左下方无限矩形区域上的概率。,如果将(X,Y)看成平面上随机点的坐标。,由上面的几何解释，易见:随机点(X,Y)落在矩形区域:x1xx2,y1yy2内的概率为,Px1Xx2,y1Yy2=F(
3、x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1).,说明,(x2,y2),(x1,y1),二维分布函数 F(x,y)的三条基本性质(1).F(x,y)是变量 x,y 的非减函数；即 yR 给定，当 x1 x2 时，F(x1,y)F(x2,y).同样,xR 给定，当y1y2时,F(x,y1)F(x,y2).,(2).x,yR,有 0F(x,y)1；,(3).yR,F(-,y)=0，xR,F(x,-)=0，F(-,-)=0，F(,)=1.,其中,3.2 二维离散型随机向量,如果随机向量(X,Y)的每个分量都是离散型随机变量，则称(X,Y)是二维离散型随机向量。二维离散型随机向量(
4、X,Y)所有可能取的值也是有限个，或可列无穷个。,离散型随机变量 X 的概率分布:,离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布:,联合概率分布也可以用表格表示。表,二维离散型随机向量的联合概率分布与联合分布函数,设二维离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布为 pij，i=1,2,j=1,2,.于是,(X,Y)的联合分布函数为,例1：设有10件产品，其中7件正品，3件次品。现从中任取两次，每次取一件，取后不放回。令:X=1：若第一次取到的产品是次品，X=0：若第一次取到的产品是正品，Y=1：若第二次取到的产品是次品，Y=0：若第二次取到的产品是正品。求:二维随机向量(X,Y)的概率分布。,解：(X,
5、Y)所有可能取的值是：(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)。,PX=0,Y=0=P第一次取正品,第二次取正品,利用古典概型，得：PX=0,Y=0=(76)/(109)=7/15。同理，得 PX=0,Y=1=(73)/(109)=7/30,PX=1,Y=0=(37)/(109)=7/30,PX=1,Y=1=(32)/(109)=1/15。,例2：从1,2,3,4中任取一数记为X，再从1,X为中任取一数记为Y。求:二维随机向量(X,Y)的概率分布。,解：易知X的可能取值为1,2,3,4，Y的也是。对X的任一可能取值i和Y的任一可能取值j，有P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j/X
6、=i)当ji,有P(Y=j/X=i)=0,否则P(Y=j/X=i)=1/i.于是(X,Y)的概率分布为,3.3.1 概率密度,设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，如果存在一个非负函数f(x,y),使得对任意实数 x,y,有,则称(X,Y)为连续型随机向量,f(x,y)为(X,Y)的概率密度函数,简称概率密度。.,3.3 二维连续型随机向量,连续型随机变量 X 的概率密度:,连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度:,对连续型随机向量(X,Y)，联合概率密度与分布函数关系如下：,在 f(x,y)的连续点；,解:(1).由,例 1：设(X,Y)的联合概率密度为,其中A是常数。(1)
7、.求常数A；(2).求(X,Y)的分布函数；(3).计算 P0X4,0Y5。,(3).P0X4,0Y5,3.3.2 均匀分布,定义:设D是平面上的有界区域,其面积为d,若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为:,则称(X,Y)为服从 D上的均匀分布。,(X,Y)落在 D中某一区域A内的概率 P(X,Y)A,与 A 的面积成正比，而与A的位置和形状无关。,P(X,Y)A=A的面积/d.,解:,例2：设(X,Y)服从圆域 x2+y24上的均匀分布，计算P(X,Y)A，这里A是中阴影部分的区域。,圆域 x2+y24面积 d=4；区域A是x=0,y=0 和 x+y=1 三条直线所围成的三角区域，并且包含在圆域x2+y24 之内，面积=0.5。故，P(X,Y)A=0.5/4=1/8。,若二维随机向量(X,Y)有联合概率密度,3.3.3 二维正态分布,正态分布(X,Y)的概率密度函数 f(x,y)满足:,(1).,(2).,小结,本讲介绍了二维随机向量的基本概念，包括联合分布函数及其性质，二维离散型随机向量的联合概率分布及其性质，二维连续型随机向量的概率密度及其性质；此外，还介绍二维均匀分布和二维正态分布等。,
