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1、1,6.2 抽 样 分 布,统计量的概念,几个常用的统计量,常用统计量的分布,2,一、统计量的概念,定义：设X1,X2,，Xn 为来自总体X的一个样本，g,说明 1.统计量是随机变量.,是X1,X2,，Xn的函数，若g是连续函数，且g中不含,任何未知参数，则称g(X1,X2,，Xn)是统计量.,统计量是一组独立同分布随机变量的函数,2.统计量引入的目的在于对所研究的问题进行,统计推断与分析.,a)对未知参数进行估计;,b）在总体分布已知或未知的情况下，对分布,中的参数进行假设检验.,3.设(x1,x2,xn)是相应于样本（X1,X2,，Xn）,的值，g(x1,x2,xn)是相应于g(X1,X2
2、,，Xn)的观查值.,3,例1,其中未知，2已知，问：下列随机变量中那些是,若X1,X2,，Xn是来自总体XN(,2)的一个样本,统计量？,4,统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计,量的分布称为抽样分布.,5,经验分布函数,设x1,x2,，xn 为总体分布函数为F(x),为样本经验分布函数.,的一个样本,将x1,x2,xn 按由小到大的顺序排列，并重新编号,设为x(1)x(2)x(n）,则称函数,6,说明,经验分布函数Fn(x)对于任意一实数，在n 相当,大时，是以概率1的形式逼近于总体分布函数F(x),格列文科定理,例1 P132 例题6-9,7,二、几种常用的统计量,样本均值,样本方
3、差,证明,设X1,X2,，Xn 为总体X的一个样本,样本标准差,样本k 阶原点矩,样本k 阶中心矩,8,说明：1.样本均值是一阶原点矩.,2.(x1,x2,xn)是样本(X1,X2,Xn)的一个样,本值，则有,样本均值观察值,样本方差观察值,样本标准差观察值,样本k 阶原点矩、样本k 阶中心矩的观察值,9,定理1,设x1,x2,xn总体x的一个样本，记 为样本均值,(1)若总体XN(,2),则,在n相当大时，,(2)若总体分布未知或不是正态分布,EX=,D(E)=2，,10,定理2,设X1,X2,Xn总体X的一个样本，记k=E(Xk),利用辛欣大数定律,(k=1,2,n),则有,g(x1,x2
4、,xn)是连续函数.,3.结论 设X1,X2,Xn为来自总体X 的一个样本，,请记熟此结论！,11,证明,12,说明,他们在统计中有不同效应，,在数理统计中流行两种形式的样本方差，,S12作为总体X方差的无偏估计量，S22不能作为总体,X方差的无偏估计量，但当n 很大时两者相差很小.,13,极大极小顺序统计量,若x(1)=minx1,x2,xn,x(2)=maxx1,x2,xn为极小与极大顺序统计量，则x(1)和x(2)的概率密度分别为,设x1,x2,，xn 为总体分布函数为F(x),概率密度函数为f(x)的一个样本,称x(1)=minx1,x2,xn,x(2)=maxx1,x2,xn,为该样
5、本的极小与极大顺序统计量.,定理2,14,证明,先求x(1)和x(2)的分布函数分别为F1(x)和F2(x).,X与Y相互独立,15,X与Y相互独立,在分别对x(1)和x(2)的分布函数F1(x)和F2(x)求导，得.,16,三、正态总体的抽样分布几种常用的统计量,若统计量2=X12+X22+Xn2 的概率密度函数为,则称统计量2服从自由度为n的2分布。,定义,1.2-分布,设（X1,X2,Xn）是来自正态总体N(0,1)的样本，,17,2-分布的性质,1)若X 2(m),Y 2(n),且X，Y相互独立，则有,X+Y 2(m+n),2)2-分布的概率密度函数图形见书P137，其随n值,的不同图
6、形而不同，n越大，图形越平缓；图形不对称.,3)若2 2(n),则 E(2)=n,D(2)=2n.,18,4)2分布的分位点,定义,对于给定的（01),称满足条件,的点2(n)为2(n)分布的上分位点.,19,例2,解,例3,设（X1,X2,Xn）是来自正态总体N(，2)的样,本，则,且相互独立,20,定义,2.t-分布,X1 N(0,1),X2 2(n),且X1,X2相互独立,则称随机变量,的分布是自由度为n的t分布。,对于给定的（01),称满足条件,的点t(n)为t分布的上分位点.,定义,由t分布的概率密度的对称性知,记为 tt(n).,21,t-分布的结论,1)自由度为1的t-分布是柯西
7、分布,其期望不存在.,2)当自由度n1时，t分布的期望存在且为0.当自由度n较大(30)时，t分布与标准正态分布逼近。,4）t分布又称学生氏分布,是哥赛特于1908年以Student的笔名发表的结果.开创了小样本的统计推断.,3)t分布的概率密度函数图像关于y轴对称，比标准正态分布的图形平缓。,22,对于给定的（01),称满足条件,的点t(n)为t分布的上分位点.,定义,由t分布的概率密度的对称性知,23,例4,例5,24,定义,3.F 分布,定理3,若X1 2(n1),X2 2(n2),X1,X2相互独立,则称,随机变量,的分布是自由度为 n1,n2的F分布.,记为 FF(n1,n2).,若 FF(n1,n2)，则1/FF(n2,n1),25,对于给定的（01),称满足条件,定义,的点F(n1,n2)为F分布的上分位点.,26,结论 F1-(n1,n2)=1/F(n2,n1),27,例6,例7,28,例8,解,29,定理4,四.正态总体的样本均值与样本方差的分布：,30,定理5,且它们独立。,则由t-分布的定义：,提示,31,定理6,分别是两个样本的均值与方差，则有：,32,（1）,即,33,定理7,
