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1、1,2.3 连续型随机变量,一.连续型随机变量的概念与性质,在线段上随机投点的位置,温度、气压、电压、电流等物理量等等,理论上可以取到某个区间的任何实数值,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式，从而得到连续型随机变量的概念,2,设X 是随机变量,如果存在非负函数,使得对任何满足 的,有,定义 3.1,则称 X 是连续型随机变量,称 是 X 的概率密度函数,简称为概率密度或密度,3,故 X的密度 f(x)在 x 这一点的值，恰好是X 落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f
2、(x)相当于线密度,概率密度的意义,4,要注意的是，密度函数 f(x)在某点处a 的高度，并不反映 X 取值的概率.但是，这个高度越大，则 X 取 a 附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度,5,若不计高阶无穷小，有,它表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于,在连续型随机变量理论中所起的作用与,在离散型随机变量理论中所起的作用相类似,6,由定义知道，概率密度f(x)具有以下性质,概率密度性质,这两条性质是判定一个函数 f(x)是否为某 X的概率密度函数的充要条件,7,这是因为,注:由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有
3、太 大的意义,我们所关心的是它在某一区 间上取值的问题,8,对数集A(严格意义下要求可测性),9,例1 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为,解:由密度函数的性质,求：常数 c;,10,例1（续）,11,例1（续）,12,例2 某电子元件的寿命（单位：小时）是以,为密度函数的连续型随机变量求 5个同类型的元件在使用的前 150 小时内恰有2 个需要更换的概率,解:设A=某元件在使用的前 150 小时内 需要更换,13,例2（续）,检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重贝努里试验B=5 个元件中恰有 2 个的使用寿命 不超过150小时,14,二.几种常用的连续型随机变量,1.均匀分布
4、(Uniform 分布),则称 X 服从区间 上的均匀分布,对,如果 X 的密度是,记作,15,均匀分布密度函数演示,16,X 取值在区间(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则 X 具有(a,b)上的均匀分布,均匀分布的概率背景,17,X,X,a,b,x,l,l,0,即,在区间（a,b）上服从均匀分布的随机变量 X，落在区间（a,b）中任意等长度的子区间内的可能性是相同的,均匀分布的意义,18,说 明,1.类似地，我们可以定义区间,还可以将密度 写成,2.采用 的示性函数,上的均匀分布,19,例3 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某
5、乘客到达此站的时间是 7:00 到7:30之间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率,解:设该乘客于7时X 分到达此站,则 X 服从区间 0,30 上的均匀分布,20,例3（续）,令：B=候车时间不超过5分钟,21,2.指数分布(Exponential 分布),对正常数,如果 X 的密度是,则称X 服从参数为 的指数分布,记作,22,指数分布的另一种等价定义,23,指数分布密度函数图形演示,24,例4 设时间 内有 粒子放射出来,设X 为第一个粒子发射出来的时刻，则,25,对任何 有,即X 的概率密度为,例4（续）,26,正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广，所以通常
6、称为高斯分布,德莫佛,德莫佛（De Moivre)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面,3.正态分布(Normal 分布),27,正态分布（高斯分布）,设 是常数,是正常数.如果,X 的密度是,则称X 服从参数为 的正态分布,记作,28,正面图案：德国数学家、物理学家和天文学家高斯头像,29,正态分布密度函数演示,30,正态分布是应用最广泛、最重要的一种连续型分布,正态分布的概率背景与应用,例如:某地的年降雨量;人的生理特征尺寸如身高、体重等;测量误差,如射击目标的水平或垂直偏差;信号噪声,等等 都服从或近似服从正态分布,31,这是用上海1999年年降雨量的数据
7、画出的频率直方图,从直方图可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布,年降雨量问题,32,这是用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图,红线是拟合的正态密度曲线,可见，某大学男大学生的身高服从正态分布,身高问题,33,此外，人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点,身高问题（续）,34,正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布,正态
8、分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的,正态分布可以作为许多分布的近似分布,说 明,35,有些分布(如二项分布、泊松分布)的极限分布是正态分布.所以,无论在实践中,还是在理论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布,二项分布向正态分布的转换,36,二项分布向正态分布的转换（续）,37,二项分布向正态分布的转换（续）,38,二项分布向正态分布的转换（续）,39,正态分布密度函数的几何特征,40,（1）曲线关于 对称,（2）当 时，取得最大值,（3）当 时，,（4）曲线在 处有拐点,（5）曲线以 x 轴为渐近线,41,（6）当固定,改变 的大小时，图形的形状不变，只是沿着 x 轴作
9、平移变换,42,43,则称 X 服从标准正态分布，,记作,标准正态分布,44,标准正态分布密度函数演示,45,4.Gamma 分布,设 是正常数,由积分,定义.如果 X 的密度是,则称X服从参数 的Gamma分布,记作,46,这正是参数为 的指数分布,说 明,1、当 时，即,此时,47,我们称此分布为自由度为 n 的 分布，记作.它是数理统计学中重要的分布之一,2、如果，其中 n 为 自然数，则有,48,2.4 概率分布函数(一),一概率分布函数的概念与性质,对于随机变量 X,我们不仅要知道 X取哪些值,还要知道 X 取这些值的概率;而且更重要的是想知道 X 在任意有限区间内取值的概率,49,
10、如果 X 是离散型随机变量，则,分析,如果 X 是连续型随机变量，则,50,更一般地，无论是离散型还是连续型，以至其它类型的随机变量,对事件 的概率，都有,为了对不同类型的随机变量给出一种统一的描述方法，我们引进分布函数的概念,51,事实上，如果我们定义,则上述概率,分布函数,即,52,显然，我们看到,下面给出概率分布函数的定义,53,定义 4.1,对随机变量X,称 x 的函数,为 X 的概率分布函数,简称为分布函数,分布函数的概念,54,说 明,1、分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究随机变量,2、如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)的值
11、就表示 X 落在区间 的概率,55,3、对于任意的实数 x1,x2(x1 x2)，有,因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述,56,分布函数的性质,分布函数 F(x)具有以下基本性质,20,57,注:如果一个函数具有上述性质，则 一定是某个随机变量 X 的分布函数.也就是说，上述三条性质是鉴别一个 函数是否是某随机变量的分布函数的 充分必要条件,58,解:注意到函数 F(x)在 上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数,59,用分布函数计算某些事件的概率,60,返回主目录,61,62,例2 将一枚硬币抛掷三次，X表示三次中正面出现的次数，求 X 的分布列及分布函数；并求,下面求 X 的分布函数,二离散型随机变量的分布函数,63,当 时，,当 时，,当 时，,例2（续）,64,当 时，,当 时，,例2（续）,65,0 1 2 3 x,1,分布函数F(x)的图形,所以,例2（续）,66,下面利用 F(x)求概率,例2（续）,67,设离散型随机变量 X 的分布列为,P（X=xk）=pk,k=1,2,3,则,分布列与分布函数的关系,68,分布函数,分布列,分布列与分布函数的关系图示如下,69,70,作业 2.3;2.18;2.27;2.29,
