概率论与数理统计学习资料.ppt

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1、1,概率论与数理统计,(三)王柱,2,复习(一）随机试验,随机试验的特点:,1.能在相同条件下重复进行;,2.每次试验的可能结果不止一个,并能事先明确试验的所有可能结果;,3.但每次试验之前,不可能事先确定那一个试验结果会出现.,3,(二)样本空间,(三)随机事件,随机试验E的所有可能结果组成的集合 S 称为E的样本空间。E的每个结果称为E的样本点。,试验E的样本空间的子集合称为E的随机事件。,一个样本点组成的单点集，称为基本事件。,样本空间包含所有的样本点，称为必然事件。,空集不包含任何的样本点，称为不可能事件。,在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，则称这一事件发生。,4

2、,事件的关系与运算一览,包含关系，相等关系，,并事件，交事件，补事件。（差事件）,相交关系，互斥关系，对立关系。,5,运算原理：,交换结合分配对偶,6,1.P(A)0;非负性,2.P()=1;完全性,3.可列可加性（加法公式）,(,A,P)称为概率空间，是指,在随机试验E的样本空间上,对每个事件A A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率,如果这个集合函数P()满足下列条件:,即可列个 Ai,i=1,2,.,，,则有,(五)概率的定义,7,样本空间=S,P(A)=k/n，,n为样本空间S中基本事件的总数,k为事件A中包含基本事件的个数,显然,P(A)=k/n 0,P(S)=n/n=1,

3、有穷个基本事件最多能使有穷个两两互斥的事件非空,有穷可加,可列可加,+,此时P(ei)=1/n，,确为概率空间。,因此(,A,P),称为等可能概型,古典概型。,1.,2.,3.,(五.1)等可能概型（古典概型）,。定义:,8,(五.2)几何概率符合概率的数学定义,几何频率也有性质,假设区域以及其中任何可能出现的小区域都是可以度量的，其度量的大小分别用和表示。事件 A A 发生的概率取为称为几何概率。,1.0 P(A)1;,2.P(S)=1;,3.若A1,A2,是两两不相容的事件,则,1.度量是欧式空间的距离形成的，度量有此性质。2.区域 S 的度量是有界的。3.事件 A 是“由小区域

4、经过最多可列个集合运算得到的”。,9,(五.3)我们回忆：在一定的条件下,重复做 n 次试验,na 为 n次试验中事件 A 发生的次数。如果随着 n 逐渐增大，频率 na/n 逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值 p 称为事件 A 在该条件下发生的概率，记做。这个定义称为概率的统计定义。,由于频率 na/n 和等可能的比例一样具有：非负性、完全性、可列可加性。因此，其逐渐稳定的数值也具有此三性，从而这个定义也符合概率的数学定义。,10,(六)概率的性质：,1。P()=0;,2。有穷可加;,4。,3。,5。,6。,11,E:“接连抛二次硬币”,S：HH,HT,TH,TT n=4 e1 e2 e

5、3 e4,A:“至少有一次出现正面”,B:“二次出现相同”,AB:“二次出现正面”,HH k=1,HH,HT,TH m=3,HH,TT,P(A)=3/4,P(B)=2/4,P(AB)=1/4,注意,P(B|A)=1/3=k/m=(k/n)/(m/n)=P(AB)/P(A),1.6.1 条件概率(一)、,先看:“在事件A发生的条件下事件B发生的概率”，值为 1/3。这是因为,A为必然事件,样本点有3个;A中有利于B的基本事件有1个。写成 P(B|A)=1/3。,1.6 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式(1),12,可以证明，条件概率 P(|A)符合概率定义的三条。,定义1.6.1:(,A,P)为

6、概率空间。AB为两个事件，且P(A)0。则称 P(B|A)=P(AB)/P(A)为“在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率”,1.P(B|A)0;非负性,2.P(|A)=1;完全性,3。可列可加性,即可列个两两不相容事件 Ai,i=1,2,.,(,A,P)观点1:(A,A A,P*(BA)观点2:(,A,P(B|A),演示5！,13,例1.,“袋中有五个球，3个白色，2个红色。”,球：W,W,W,R,R,A:“第一次是白球”,AB:“取到两球同为白色”,E、不放回抽样：抽一个看，不放回接着再抽。共抽两次。,n=5*4,B:“第二次是白球”,k=3*2,m=3*4,计算得，P(B|A)=P(

8、率。,Ai:“第i次是红球”，i=1,2,3,4,Aic:“第i次是白球”，i=1,2,3,4,P(A1A2A3cA4c)=P(A4c|A1A2A3c)P(A3c|A1A2)P(A2|A1)P(A1),例2.“透镜第一次落下时打破的概率为1/2。第一次未破第二次落下时打破的概率为7/10。前两次未破第三次落下时打破的概率为9/10。试求三次落下未打破的概率。”,Ai:“第i次落下打破”，i=1,2,3,B:“三次落下未打破”,P(B)=P(A1cA2cA3c)=P(A3c|A1cA2c)P(A2c|A1c)P(A1c),又可以用,P(Bc)=P(A1cA2cA3)+P(A1cA2)+P(A1)

9、,P(B)=(1-9/10)(1-7/10)(1-1/2)=3/200,P(Bc)=1/2+7/20+27/200=197/200,17,例 N件产品,含有D(N)件次品,任取n件,恰有k(D)件次品的概率?,为所求概率，这个概率称为超几何概率。,1.4 排列组合与古典概率的计算（2）,18,例.将15名球手(可区分的)随机地平均分配到三个组(1、2、3)中去。15名球手中有 3名国手。求这3名国手 A:在同一组、B:各在一个组的概率？,有利于A的分法:,有利于B的分法:,P(A)=6/91=0.0659,P(B)=25/91=0.2747,19,例.n个球,随机地放入N个盒子中。,A:“

10、每盒至多有一球”,B:“都在指定的k个盒子中”,(球、盒均可区分时）放法总数为 Nn。,放法数为,(例如，某班在年级大排队中的占位）,放法数为 kn,20,问题：咱们教室内的听课人数共有186人。你们注意到了否，你们中间有没有几个人同一天过生日的事发生？,回答是:“几乎肯定有”。为什麽？,n个人中至少有两人生日相同的概率为,经计算可得如下结果：,30,演示8！,21,例从数字中每次任取一个，共取次，试问这个数的积被10除尽的概率是多少？,解设=A 个数的乘积被10除尽,B=个数中不含5,C=个数中不含偶数,则,显然 B 和 C 是相容的,22,（三）、全概率公式和贝叶斯公式,定义；

11、随机试验E的样本空间为。B1，B2，,Bn 为E的一组事件。若(1)两两不相容且,(2)它们的和集为,则称B1，B2，,Bn为的一个划分,也叫完备事件组。,这时，每次试验必有一个 Bi 发生。,定理；随机试验E的样本空间为。B1,B2,Bn 为的一个划分。且P(Bi)0,i=1,n。A为E的一个事件,则 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|Bn)P(Bn),称为全概率公式。,A=A=A(B1+B2+Bn)=AB1+AB2+ABn,1.6 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式(2),23,定理；随机试验E的样本空间为。A为E的一个事件,P(A)0。B1，B2，,Bn为的一个划分。且P(Bi)

13、求：“普查化验阳性会被诊为有病的概率?”,A:“化验阳性”,B:“被诊为有病”,分析：B,Bc为一个划分。,得:P(B|A)=0.950.005/0.950.005+0.050.995=0.087,例3.记,26,下面介绍全概率公式在敏感性调查中的应用。,所谓敏感性调查是指调查内容中涉及到被访者的高度机密或隐私（如调查学生在考试中是否作弊，某人是否吸毒等），常常会发生被访者抗拒回答或不真实回答的情况。为此，1965年沃纳（Warner）提出一个随机化回答的方法。,首先给被访者设定两个问题。A：你在本学年考试中作弊了吗？B：你在本学年考试中没有作弊吗？被调查者回答哪一个，由随机化方法确定，但要求

14、正确回答。,27,一般设定选题 A 的概率为 p，选题 B 的概率为(1-p)=q。A 的张数：B 的张数=p：q,这样从答卷中可以统计出 n 个学生答“是”的个数，设为 m，m/n 就是答“是”学生的频率。那么当 n 较大时，利用概率的统计定义，m/n 就可近似于概率 P(答“是”)。利用全概率公式有：,显然，是不行的，应避免。,即,28,下面介绍全概率公式在智力测验中的应用。,有三个房间A、B、C，其中一间放着一辆汽车。其余是空的。如果你猜对了，汽车归你所有。假设你猜A以后，主持人告诉你其余两间房中的一个（例如 C）是空的，问你是否应该改变主意选B，还是照旧选A。哪个更明智些？,首猜之房

15、设为A。记事件A1:“A中有车”，p(A1)=1/3；A0:“A中无车”，p(A0)=2/3。打开的空房为C。主持人说应该改选的为B。,29,注意到：p(改0|A1)=1,p(改1|A1)=0,p(改0|A0)=0,p(改1|A0)=1,p(原1|A0)=0,p(原1|A1)=1,计算：p(原1)=p(A0)*p(原1|A0)+p(A1)*p(原1|A1)=0*2/3+1*1/3=1/3p(改1)=p(A0)*p(改1|A0)+p(A1)*p(改1|A1)=1*2/3+0*1/3=2/3,30,1.7 事件的独立性,定义；A,B为两事件。如果等式 P(AB)=P(A)P(B)成立,则称A,B为

16、互相独立的事件。,可以证明，若A与B互相独立，则 Ac与B，A与Bc，Ac与Bc互相独立。,定理；A,B为两事件，且P(A)0。则“A与B相互独立”与“P(B|A)=P(B)”等价。,31,例4.1。E:“接连抛二次硬币”,S：HH,HT,TH,TT n=4 e1 e2 e3 e4,先看，A:“第一次出现正面”,B:“第二次出现正面”,AB:“二次同时出现正面”,HH,HT m=2,P(A)=2/4,HH,TH,P(B)=2/4,HH k=1,P(AB)=1/4,可算出“在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率”为 P(B|A)=1/2,P(B|A)=1/2=P(B)即“A与B相互独立”,

17、32,例4.2。E:“接连抛二次硬币”,S：HH,HT,TH,TT n=4 e1 e2 e3 e4,再看,A:“至少有一次出现正面”,B:“二次出现相同”,AB:“二次出现正面”,HH k=1,HH,HT,TH m=3,HH,TT,P(A)=3/4,P(B)=2/4,P(AB)=1/4,可算出“在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率”为 P(B|A)=1/3,而 P(B|A)=1/3 1/2=P(B)即“A与B不是相互独立的”,33,一般,A1，A2，,An为E的一组n个事件。相似的可定义：两两、三三、.，及n个相互独立。,定义；A,B,C为三个事件。如果三个等式 P(AB)=P(A)P

18、(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)成立,则称A,B，C为两两独立的事件。,若再加一个等式 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立,则称A,B，C为互相独立的事件。,34,再看例、,E:“接连抛三次硬币”,S：HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8,A:“第一次抛出现正面”p(A)=1/2,B:“第二次抛出现正面”p(B)=1/2,C:“第三次抛出现正面”p(C)=1/2,AB:“第一、第二两次出现正面”p(AB)=1/4,AC:“第一、第三两次出现正面”p(AC)=1/4,BC:“第二、第三

19、两次出现正面”p(BC)=1/4,ABC:“第一、第二、第三三次出现正面”p(ABC)=1/8,“A，B，C 三事件相互独立。”,35,又例5.E:“四张卡片中任抽一张”,S：e1 e2 e3 e4 n=4,A:“出现 e1，e2”,B:“出现e2，e3”,C:“出现e1，e3”,BC：e3,AB：e2,AC：e1,“A，B，C 两两相互独立”,P(ABC)=0 1/8=P(A)P(B)P(C),“A，B，C 三者不独立”,但 ABC：，为空集。,36,1.8 独立试验序列,假若一串试验具备下列三条：（1）每一次试验只有两个结果，一个记为“成功”，一个记为“失败”，（2）成功的概率p在每次试验

20、中保持不变；（3）试验与试验之间是相互独立的。则这一串试验称为独立试验序列，也称为Bernoulli概型。,37,在独立试验序列中主要考察下面两种事件的概率：（1）n 次试验中恰有 k 次“成功”的概率；（2）第 k 次试验首次出现“成功”的概率。,请读者自行证明第1种事件的概率为，第2种事件的概率为。,38,例有一批产品，其不合格率为10%，每次抽取一个，观察后再放回，独立地重复5次，求5次观察中有2次是不合格品的概率。,解设 A=一次观察中出现不合格品，B=5次观察中出现2次不合格品。按照题意有,39,例有一大批产品，不合格率为0.1，今从中任取4个，求至少有1个不合格品的概率。,解由于批量大，无放回抽取4个，可以近似地看成有放回取4个。有放回抽样是独立试验序列，抽取4个，其中没有不合格品的概率为，,故4件中至少有一件不合格品的概率为:1-0.6561=0.3439,40,例进行某试验，试验成功的概率为，失败的概率为，求第10次试验的结果是首次成功的概率。,解按照题意所求概率为,41,概率论与数理统计,(三)结束,作业:习题一 28,30,32,40,42,28,43,30,44,32,45,40,再见,46,A B C D E F G H I R P Q,A B C D E F G H I R P Q,

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