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1、1,概率论与数理统计,连续型随机变量及其概率密度随机变量的分布函数,2,1 o,2 o,1.连续型r.v及其密度函数的定义,一、连续型随机变量及其概率密度,3 o,设X是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的函数f(x),满足条件,且对于任意两个实数a,b,a可以为,b可以为,则称 X为连续型r.v,称 f(x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度.,3,故 X的密度f(x)在 x 这一点的值，恰好是X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.,若 x 是 f(x)的连续点，则：,=f(x),对 f(x)的进一步理解:,4,要注意的是，密度函数
2、 f(x)在某点处a的值，并不反映X取值a的概率.,若不计高阶无穷小，有：,但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.,即在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.,=f(x),5,连续型r.v取任一指定值的概率为0.,即：,a为任一指定值,因为：,注意:,由此得，,1）对连续型 r.v X,有,6,2)由P(X=a)=0 可推知,而 X=a 并非不可能事件,并非必然事件,称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.,可见，,由P(A)=0,不能推出,由P(B)=1,不能推出 B=S,7,若 r.vX的概率密度为：,则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：,X U(a,b),
3、它的实际背景是：r.v X 取值在区间(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比.,1.均匀分布,二、三种重要的连续型随机变量,8,例1 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30,7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5 分钟的概率.,解：,依题意，X U(0,30),以7:00为起点0，以分为单位,9,为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.,所求概率为：,从上午
4、7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,10,则称 X 服从参数为 的指数分布.,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命（无记忆性）.,若 r.v X具有概率密度,常简记为 XE().,2.指数分布,11,若 r.v X的概率密度为,记作,f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.,其中 和 都是常数，任意，0，则称X服从参数为 和 的正态分布.,3.正态分布,12,标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数用 表示,13,为了对离散型的和非离散型的 r.v以及更广泛类型的r.v给出一种统一的描
5、述方法，我们引进分布函数的概念.,三、随机变量的分布函数,14,由定义，对任意实数 x1x2，随机点落在区间（x1,x2 的概率为：,P x1X x2=P X x2-P X x1=F(x2)-F(x1),因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.,X,x 皆为变量.二者有什么区别？,15,2、分布函数F(x)的性质：,1）F(x)是一个单调不减函数.,2）,3）,3、离散型 r.v的分布函数,由于F(x)是 X 取 的诸值 xk 的概率之和，故又称 F(x)为累积概率函数.,16,试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.,例2 设有函数 F(x),解：注意到函
6、数 F(x)在 上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.,不满足性质(2)，可见F(x)也不能是r.v 的分布函数.,或者,17,当 x0 时，X x=，故 F(x)=0,当 0 x 1 时，F(x)=P(X x)=P(X=0)=,当 1 x 2 时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=,当 x 2 时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1,18,故,注意右连续,下面我们从图形上来看一下.,19,分布律图,分布函数图,画分布函数图,20,F(x)=P(X x)=,解：,对x-1，F(x)=0,对,21,即,对 x1，F(x)=1,对,22,例5 在区间 0，
7、a 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标.设这个质点落在 0,a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.,解：设 F(x)为 X 的分布函数，,当 x 0 时，F(x)=P(X x)=0,当 x a 时，F(x)=1,当 0 x a 时，P(0 X x)=kx(k为常数),23,F(x)=P(X x)=P(X0)+P(0 X x),=x/a,这就是在区间 0，a上服从均匀分布的随机变量的分布函数.,当 0 x a 时，P(0 X x)=kx(k为常数),24,求 F(x).,例6 设,由于f(x)是分段表达的，求F(x)时注意分段求.,25,26,例7 设r.vX的分布函数为,（1）求X取值在区间（0.3,0.7）的概率；（2）求X的概率密度.,解:(1)P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3),=0.72-0.32=0.4,(2)f(x)=,注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在 没意义的点处，任意规定 的值.,
