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1、第三章 多维随机变量及其分布,3.1 二维随机变量3.2 边缘分布3.3 随机变量的相互独立性3.4 二维随机变量函数的分布,3.1 二维随机变量,一、二维随机变量及其分布函数二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量四、两个常用的分布,1.定义,一、二维随机变量及其分布函数,若 E 是一个随机试验，它的样本空间是=e，,设 X=X(e)和 Y=Y(e)是定义在 上的随机变量。,由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量，或二维随机变量。,图示,注意事项,(1)向量(X,Y)是一个整体,其性质不仅与 X、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.,(2)向量(X,Y)从几何上看可
2、以作为一个平面上随机点.,2.实例,实例1 炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机变量.,实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况,则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量(H,W).,3.二维随机变量的分布函数,(1)分布函数的定义,(2)分布函数的几何意义,且有,(3)分布函数的性质,证,某一二元函数是二维随机变量分布函数 该函数具有以上四条性质。,可以证明,(4)一个重要的公式,则,4.n 维随机变量,(2)n维随机变量的联合分布函数,(1)定义,为联合分布函数.,二、二维离散型随机变量,1.定义,若二维随机变量(X,Y)所取的可能值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y)为
3、二维离散型随机变量.,2.二维离散型随机变量的分布律,二维随机变量(X,Y)的联合分布律也可表示为,3.联合分布律的性质,例1,解,由乘法公式得,抽取两支都是绿笔,抽取一支绿笔,一支红笔,例2,从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔的盒子里,随机抽取两支,若 X、Y 分别表示抽出的蓝笔数和红笔数,求(X,Y)的分布律.,解,(X,Y)所取的可能值是,抽取一支蓝笔,一支红笔,综合之所求分布律为,4.二维离散型随机变量的联合分布函数,一般不好写出！,(X,Y)的可能取值为,例3,一个袋中有三个球,依次标有数字 1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个,设每次取球时,各球被取到的可能性
4、相等,以 X,Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求(X,Y)的分布律与分布函数.,解,故(X,Y)的分布律为,下面求分布函数.,所以(X,Y)的分布函数为,练习,解,离散型随机变量(X,Y)的分布函数归纳为,说明,三、二维连续型随机变量,1.定义,使得对于任意的 x,y有,2.性质,按定义，概率密度 f(x,y)具有以下性质：,在几何上 z=f(x,y)表示空间的一个曲面，上式即表示 P(X,Y)G的值等于以 G 为底，以曲面 z=f(x,y)为顶的柱体体积,例4,解,(2)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标,即有,例4,解,例5,解,x+y=1,x=1,y=2,将(X,Y)看作
5、是平面上随机点的坐标,例6,解,按性质，,用极坐标系计算,例6,解,(2),四、两个常用的分布,1.均匀分布,设 D 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,则称(X,Y)在 D 上服从均匀分布.,定义,均匀分布几何意义,(几何概型),已知随机变量(X,Y)在 D上服从均匀分布,其中D为x 轴,y 轴及直线 y=x+1 所围成的三角形区域.试求(X,Y)的分布密度及分布函数,例7,解,所以(X,Y)的联合分布函数为,2.二维正态分布,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,二维正态分布的图形,1.二维随机变量的分布函数,2.二维离散型随机变量的分布律及分布函数,3.二维连续型随机变量的概率密度,小结,4.均匀分布、二维正态分布,
