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1、,在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础.数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容.,即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.,下面介绍用公理给出的概率定义.,1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.,柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.,概率的公理化定义,公理2 P(S)=1(2),公理3 若事件A1,A2,两两互不相容，则有(3)这里事件个数可以是有限或无限的.,公理1 0 P(A)1(1),设E是随机试验，S是它的样本空间，对于S中的每一个事件A，赋予
2、一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数 P()满足下述三条公理:,公理2 P(S)=1(2),公理3 若事件A1,A2,两两互不相容，则有(3)这里事件个数可以是有限或无限的.,公理 1 0 P(A)1(1),公理1说明，任一事件的概率介于0与1之间；,公理2说明，必然事件的概率为1；,公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和.,由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质.下面我们就来给出概率的一些简单性质.,在说明这些性质时，为了便于理解，我们常常借助于文氏图.,文氏图,设边长为1个单位的正方形的面积表示样本空间
3、S,其中封闭曲线围成的一切点的集合表示事件 A,把图形的面积理解为相应事件的概率,因为,1=P(S)=P(A)+P(),性质1对任一事件A，有(4),性质1在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件 的概率较易时，可以先计算，再计算P(A).,性质1对任一事件A，有(4),例1 将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？,令 事件A=至少出一次“6”点,A发生,出1次“6”点,出2次“6”点,出3次“6”点,出4次“6”点,直接计算A的概率较麻烦,我们先来计算A的对立事件,=4次抛掷中都未出“6”点,的概率.,于是=0.518,因此=0.482,由于将一
4、颗骰子抛掷4次,共有=1296种等可能结果,而导致事件=4次抛掷中都未出“6”点的结果数有=625种,例2 有r 个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.,为求P(A),先求P(),用上面的公式可以计算此事出现的概率为=1-0.524=0.476,美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.,即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.,这个概率不算小，因此它的出现不值得奇怪.计算后发现，这个概率随着球
5、迷人数的增加而迅速地增加，如下页表所示：,表 3.1 人数 至少有两人同 生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994,所有这些概率都是在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的.实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大.当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.,请看演示：,生日问题,性质2(5),即不可能事件的概率为0.,移项得(6),便得(7).,再由,由可加性,又因再由性质 3便得(8).,它给出了概率所必须满足的最基本的性质，为建立严格的概率理论提供了一个坚实的基础.,下一讲，我们将重点介绍加法公式及其应用.,这一讲，我们介绍了,概率的公理化定义,由概率所必须满足的三条公理，我们推导出概率的其它几条重要性质.它们在计算概率时很有用，尤其是加法公式.,
