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1、概率论习题讲解,8.1 设(x,h)服从在A上的均匀分布,其中A为x轴、y轴及直线x+y+1=0所围成的区域.求(1)Ex;(2)E(-3x+2h);(3)E(xh);(4)s2(x),s(x).,x,y,x+y+1=0,-1,-1,A,8.1 设(x,h)服从在A上的均匀分布,其中A为x轴、y轴及直线x+y+1=0所围成的区域.求(1)Ex;(2)E(-3x+2h);(3)E(xh);(4)s2(x),s(x).解:(x,h)的分布密度为,x,y,x+y+1=0,-1,-1,A,由对称性得,因此,7.12 设某单位有200台电话机,每台电话机大约有5%的时间要使用外线通话.若每台电话机是否使
2、用外线是独立的,问该单位总机至少需要安装多少条外线,才能以90%以上的概率保证每台电话机需要使用外线时可供使用.,7.12 设某单位有200台电话机,每台电话机大约有5%的时间要使用外线通话.若每台电话机是否使用外线是独立的,问该单位总机至少需要安装多少条外线,才能以90%以上的概率保证每台电话机需要使用外线时可供使用.解:设x为每时刻用外线通话的电话机数,则xB(200,0.05),Ex=10,s2(x)=9.5,近似有xN(10,9.5),假设有n根外线可满足题意的要求,即Pxn=0.9,但,即,反查标准正态分布函数表得,解得,6.9 如果x,h的分布密度用下列表格给出:,那么a,b取什么
3、值时,x,h才相互独立?,6.9 如果x,h的分布密度用下列表格给出:,那么a,b取什么值时,x,h才相互独立?解:将表格重绘成如下形式:,因为x与h相互独立,就导致上面两行成比例,上面三列也成比例.因为(1/3)是(1/6)的二倍,所以a和b就必须是1/9和1/18的二倍,因此,5.17 设电子管的寿命具有密度函数,(单位:小时),问在150小时内(1)三只管子中没有一只损坏的概率是多少?(2)三只管子全损坏的概率是多少?,5.17 设电子管的寿命具有密度函数,(单位:小时),问在150小时内(1)三只管子中没有一只损坏的概率是多少?(2)三只管子全损坏的概率是多少?解:假设一只管子寿命小于
4、150小时的概率为p,则,设x是三只管子中寿命小于150的数目,则xB(3,1/3),因此有,没有一只坏的概率为,三只都坏的概率为,4.8 设一个口袋中有六个球.令A1、A2、A3依次表示这个球为四红、二白，三红、三白，两红、四白这三种情形.设验前概率为,从这口袋中任取一个球,得到了白球.求相应的验后概率.,4.8 设一个口袋中有六个球.令A1、A2、A3依次表示这个球为四红、二白，三红、三白，两红、四白这三种情形.设验前概率为,从这口袋中任取一个球,得到了白球.求相应的验后概率.解:设取得白球为事件B,则依题意有,根据全概率公式有,相应的后验概率为,同理算得,3.7 在线段AD上任取两点B,
5、C,在B,C处折断而得三个线段.求这三个线段能构成三角形的概率,3.7 在线段AD上任取两点B,C,在B,C处折断而得三个线段.求这三个线段能构成三角形的概率.解:设A点为原点,线段的长度为a,任取的两点B,C距A点的距离为x,h,因此x,h在一个方形区域G里服从均匀分布,如下图所示,先考虑hx的情况可由对称性获得,三条线段能构成三角形,要求每一条线段的长度小于另两条线段的长度,而三条线段的长度分别为h,a-x,x-h,因此得到三个不等式h+(a-x)x-h,h+(x-h)a-x,(a-x)+(x-h)h.整理这三个不等式,得,h+(a-x)x-h,h+(x-h)a-x,(a-x)+(x-h)
6、h.,满足不等式的区域如下图所示:,由对称性,再加进hx的情况,则可构成三角形的区域如下图所示:,由图中可看出所求概率为1/4,8.5 证明:当k=Ex时,E(x-k)2的值最小,最小值为s2(x).,8.5 证明:当k=Ex时,E(x-k)2的值最小,最小值为s2(x).证:将E(x-k)2视为k的函数,即令f(k)=E(x-k)2.则f(k)=E(x2-2kx+k2)=E(x2)-2kE(x)+k2,将f(k)对k求导数并令其为0,得,解得k=E(x),再将f(k)对k求二阶导得,可知E(x)在f(k)处取最小值,证毕.,8.12 设x,h相互独立,分布密度分别为,求E(x,h).,8.1
7、2 设x,h相互独立,分布密度分别为,求E(x,h).解:因x,h相互独立,E(x,h)=E(x)E(h),而,因此,6.10 设随机变量(x,h)的分布密度函数为,(1)求参数c;(2)证明x与h相互独立.,3.8 某城市有50%住户订日报,有65%住户订晚报,有85%住户至少订这两种报纸中的一种,求同时订这两种报纸的住户的百分比.,3.8 某城市有50%住户订日报,有65%住户订晚报,有85%住户至少订这两种报纸中的一种,求同时订这两种报纸的住户的百分比.解:设A为住户订日报,B为住户订晚报,则A,B满足P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),因此有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.65-0.85=0.3,
