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1、2010-2011学年第 1 学期 概率论 试题(A卷)考试类型:(闭卷)考试 考试时间:120 分钟,一.填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分),1.事件A在4次独立重复试验中至少成功一次的概率为80/81,则事件A在一次试验中概率为_.,设每次试验成功的概率为 p,依题意,成功的次数X,B(4,p),由至少成功一次的概率为,PX1,=1-PX=0,=1-C40 p0(1-p)4,=1-(1-p)4,即,解得,解,2.三个人独立地破译一个密码,他们能译出的概率分别是0.2、1/3、0.25则密码被破译的概率为_.,解,设事件 A,B,C 分别表示三人破译该密码,依题意,事
2、件 A,B,C 相互独立.,则密码被破译的概率为,(习题1、P27 24.),P(AUBUC),方法1,独立性,=1-(1-0.2)(1-1/3)(1-0.25),=0.6.,P(AUBUC),方法2,P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC),独立性,P(A)+P(B)+P(C)P(A)P(B)P(A)P(C)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C),=0.6.,0.6,3.设随机变量 X 的分布函数,解,则PX=1=_.,方法1,公式法.(从F(x)的表达式入手),由PX=x=,PXx-PXx,=F(x)-F(x-0),即分布律与分布函数有如下关系:PX=x
3、=F(x)-F(x-0).,则 PX=1=,F(1)-F(1-0),=0.8-0.4=0.4.,0.4,方法2,作图法.(从F(x)的图形入手),如图.,离散型随机变量的分布函数图形为阶梯形,随机变量在间断点处取值的概率为图形在此处的跳跃度.,所以 PX=1=,0.4.,(习题2、P51P51.23.(1)就是此类型题),4.连续型随机变量 X E(),(0),则k=_时,PkX2k=1/4.,解,X的密度函数为,(0),由 PkX2k=1/4,得,即,亦即,所以,5.设随机变量X1,X2相互独立,其中X1U0,6,X2P(3),记Y=X1-3X2,则D(Y)=_.,解,由已知,D(X1)=D
4、(X2)=,3.,因为X1,X2相互独立,所以,D(Y)=D(X1-3X2),=D(X1)+9 D(X2),=3+9 X3,=30.,30,6.若随机变量 在1,5上服从均匀分布,则方程 X 2+X+1=0有实根的概率为_.,解,3/4,的密度函数为,方程X 2+X+1=0有实根,=2-40,即,-2 或 2,所以方程X 2+X+1=0有实根的概率为,P-2 或 2,=P-2+P 2,7.如果公共汽车车门的高度按男子碰头率在1以下设计,而成年男子的身高X服从正态分布N(165,36)(cm),则公共汽车车门的最低高度应为_.(已知(2.33)=0.99),解,178.98 cm 或 179 c
5、m,设最低高度应为x,PX x 0.01,依题意,=1-F(x),所以,从而,解得,(类似于 习题2、P5121.),x 178.98.,8.设某工厂生产的圆盘,其直径在区间(a,b)上服从均匀分布,则该圆盘面积的数学期望为_.,习题4.第8题(P102),解,设圆盘的直径为X,则XU(a,b),圆盘面积Y=,方法1,X的密度函数为,所以,E(Y)=,方法2,E(X)=D(X)=,所以,E(Y)=,二、选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分),1、设A,B为任意两个事件,AB,P(B)0,则下式 成立的为()(A)P(A)P(A|B)(D)P(A)P(A|B),解,由AB,得
6、,P(A)=P(AB),A=AB,所以,=P(B)P(A|B),又 0P(B)1,因此,P(A)P(A|B).,B,二、选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分),2、下列函数可以作为某随机变量的密度函数的为()(A)(B)(C)(D),D,根据:,(1)f(x)0,xR;,二、选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分),3、设某连续型随机变量 X 的概率密度为 则下列结论正确的是()(A)E(X)=1,D(X)=1/2;(B)E(X)=2,D(X)=1;(C)E(X)=0,D(X)=2;(D)E(X)=-1,D(X)=2.,A,解,可见X,二、选择题(本大题共
7、 5 小题,每小题 3 分,共 15 分),4、设随机变量 X 与 Y 相互独立,其概率分布分别为 则有()(A)P(X=Y)=0;(B)P(X=Y)=0.4;(C)P(X=Y)=0.68;(D)P(X=Y)=1.,C,解,P(X=Y)=,P(X=0,Y=0)+,因为 X 与 Y 相互独立,所以,P(X=1,Y=1),=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1),=0.2X0.2+0.8X0.8,=0.68.,二、选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分),5、设A,B是两个随机事件,则有(),C,解,解,由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),知,(1),P(
8、AB)=P(A)+P(B)-P(AUB),=0.3+0.5-0.8,=0.,(2)P(A-B)=,P(A)-P(AB),=0.3-0=0.3.,(3),=1-P(AUB),=1-0.8=0.2.,P26习题1：5.,A,B互斥时，P(AUB)=P(A)+P(B),反之，若P(AUB)=P(A)+P(B),则只能说 P(AB)=0,但 A,B不一定互斥.,因为P(AB)=0,未必有AB=.见P37下P38上.,解,因为,所以,因此,=1-P(AUB),=1-P(A)-P(B)+P(AB),1-P(A)-P(B)=0,P(B)=1-P(A),=1-p.,P26习题1：6.,P26习题1：7.,解,
9、因为 ABC AB,=，,所以 ABC=.,因此,P(AUBUC)=,P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC),=0.4+0.5+0.6-0.2-0.4-0+0,于是 P(AB)=0，P(ABC)=0.,=0.9.,P26习题1:15.,解,由题意知:,由,=0.85,得,P(AB)=0.862,P(A)=0.92,P(B)=0.93,记事件A=系统A有效，B=系统B有效,方法1,(1)两种系统至少有一个系统有效的概率为,P(AUB),=P(A)+P(B)-P(AB),=0.92+0.93-0.862,=0.988,(2)系统B失灵的条件下，系统A有效的概率为,
10、=0.012,方法2,(1)两种系统至少有一个系统有效的概率为,P(AUB)=,=0.988,(2)系统B失灵的条件下，系统A有效的概率为,=0.829,=0.829,P27习题1:19.,解,设加工零件A为事件A,加工零件B为事件B,机床停机的为事件C.,由题意知:,P(A)=P(B)=P(C|A)=P(C|B)=,1/3,2/3,0.3,0.4,由全概率公式得,P(C)=,P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B),既要写出要用到的公式,又要有代值过程,再计算!,解,习题1、P27 24.,设事件A,B,C 分别表示三人破译该密码,依题意,事件A,B,C 相互独立.,则密码被破译的概率为,
11、P(AUBUC),方法1,独立性,=1-(1-0.2)(1-1/3)(1-0.25),=0.6.,P(AUBUC),方法2,P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC),独立性,P(A)+P(B)+P(C)P(A)P(B)P(A)P(C)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C),=0.6.,解,习题1、P26P27 26.,设事件A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙击中飞机,依题意,事件A1,A2,A3相互独立.,设事件Bi 表示飞机被 i 人击中,i=1,2,3.,设事件 C 表示飞机被击落.则,由A1,A2,A3相互独立,得,P(B1)=,P(C|B1)=P(C
12、|B2)=P(C|B3)=,0.2,0.6,1,=0.4X(1-0.5)(1-0.7)+(1-0.4)X0.5X(1-0.7)+(1-0.4)(1-0.5)X0.7,=0.36,类似地,可得,P(B2)=,=0.4X0.5X(1-0.7)+0.4X(1-0.5)X0.7+(1-0.4)X0.5X0.7,=0.41,P(B3)=,P(A1A2A3),=P(A1)P(A2)P(A3),=0.4X0.5X0.7=0.14.,由全概率公式得飞机被击落的概率为,P(C)=,P(B1)P(C|B1)+P(B2)P(C|B2)+P(B3)P(C|B3),=0.36X0.2+0.41X0.6+0.14X1,=
13、0.458.,习题2、P48 2.,解,(1)PX=2,4,6,=PX=2+PX=4+PX=6+,或,(2)PX3,=1-PX=1-PX=2,习题2、P49 4.,解,由,得,或,所以,a=e-1.,习题2、P49 5.,解,设 X 为同时被使用的设备数,依题意,X,B(5,0.1).,X 的分布律为,k=0,1,2,3,4,5.,所求的概率为,(1),=0.0729.,PX=2=,(2),PX3=,PX=3+PX=4+PX=5,=0.00856.,(3),PX3=,1-PX=4-PX=5,=0.99954.,(4),PX1=,1-PX=0,=1-0.95,=0.40951.,P49习题2、6
14、.,解,则 X Y,设甲、乙投中的次数分别为X,Y,B(3,0.6),B(3,0.7),且 X,Y 相互独立.,(1)两人投中次数相等的概率为,PX=Y=,=0.027X0.064+0.189X0.288+0.441X0.432+0.343X0.216,0.321.,P49习题2、6.,(2)甲比乙投中次数多的概率为,PXY=,=0.288X0.027+0.432X(0.027+0.189)+0.216X(0.027+0.189+0.441),PX=1,Y=0+PX=2,Y=0+PX=2,Y=1+PX=3,Y=0+PX=3,Y=1+PX=3,Y=2,0.243.,习题2、P49 7.,解,这是
15、古典概型问题.,(1),基本事件总数n=A包含的基本事件数nA=,设A=试验成功一次,1.,所以,P(A)=,(2),假设他是猜对的,由(1)知,他每次猜对的概率为1/70,连续试验10次,则猜对的次数X,3.16X10-4.,猜对3次的概率为,B(10,1/70).,PX=3=,这个概率很小.,根据小概率原理(也称实际推断原理),可以认为他确有区分的能力.,概率很小的事件在一次试验中可以看作是不可能发生的称为小概率原理,也称实际推断原理.,习题2、P49 8.,解,(1),依题意,长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X,P(t/2).,X的分布律为,所以所求的概率为,PX=0,=e
16、-1.5.,(2),PX1,=1-PX=0,=1-e-2.5.,t=3,所以所求的概率为,t=5,习题2、P5012.,解,(1),由F(+)=1,得,=a,=1.,由连续型随机变量 的分布函数连续知,即 a+b=0,所以 b=-1.,从而,(2),X 的密度函数为,f(x)=,F(x),(3),方法1,(3),方法2,习题2、P50 13.(1),解,利用分布函数的定义,当x1时，,=0,当1x 2时，,当x 2时，,=1,综上所述,得 X 的分布函数为,习题2、P50 13.(2),解,利用分布函数的定义,当x0时，,=0,当0 x 1时，,当1x 2时，,当x 2时，,=1,综上所述,得
17、随机变量 X 的分布函数为，,P51习题2、20.,解,由题设知XN(,2),设 考生的外语成绩为X,其中=72,下面先求 2.,由条件知,PX96,=1-F(96),=0.023,即,查(x)数值表,得,故=12,因此,XN(72,122).,所求概率为,P60X84,=F(84)-F(60),=(1)-(-1),=2(1)-1,=2X0.841-1,=0.682.,(X,Y)的联合分布律与边缘分布律见下表:,(X,Y)的联合分布律与边缘分布律见下表:,无放回摸球时,PY=xi=pi,PX=yj=pj,3/5,2/5,3/5,2/5,解,有放回摸球时,PY=xi=pi,PX=yj=pj,3/
18、5,2/5,3/5,2/5,两种情况下X和Y 的边缘分布律是相同的,但它们的联合分布律却完全不同.由此可见,边缘分布不能唯一确定联合分布.,P80习题3、第2,3题,习题3P82第17题,解,将X、Y的边缘分布律列在联合分布律的边缘，得下表：,PX=xi=pi,PY=yj=pj,要使X与Y相互独立，必须,因此a,b必须满足,解得,pij=pipj,i=1,2,j=1,2,3.,此时,经验证有,pij=pipj,i=1,2,j=1,2,3.,所以当 时,X与Y相互独立.,P52习题2、24.(2),Y的分布函数为,FY(y),=PYy,=Pe-Xy,解,当y0时,FY(y)=,P(),=0,当y
19、0时,FY(y)=Pe-Xy,=P X-lny,或,=1-FX(-lny),综合得,或,(2),求导得Y的密度函数为,因为fX(x)=,代入得Y的密度函数,(3),Y的分布函数FY(y)=,PYy,=PX 2y,当y0时，,FY(y)=,0,当y0时，,FY(y)=PX 2y=,总之,Y的分布函数为,或,或者,P52习题2、24.(3),两边求导,得Y的概率密度函数为,又X的密度函数为,则Y=X 2的概率密度为,P52习题2、25.(1),Y的分布函数为,FY(y),=PYy,=P2lnXy,解,(1),或,X的密度函数为,即,或,两边求导,得Y的概率密度函数为,P102习题4、13.,解,由
20、相互独立的服从正态分布的随机变量的线性组合仍然服从正态分布知,2X-Y服从正态分布,由服从正态分布的随机变量的线性函数仍服从正态分布知,2X-Y+3服从正态分布,又,E(2X-Y+3)=D(2X-Y+3)=,2E(X)-E(Y)+3,因 X和 Y 相互独立,4D(X)+D(Y),=2X1-0+3,=5,=4X2+1,=9,所以Z=2X-Y+3,N(5,9),故Z=2X-Y+3的密度函数为,P82习题13,18.,解,如图.,当x1时,从而fX(x)=0.,当0 x1时,所以,f(x,y)=0,=2.4x2(2-x),当y1时,从而fY(y)=0.,f(x,y)=0,所以,当0y1时,=2.4y(3-4y+y)2,因为 fX(x)fY(y)f(x,y),所以,X与Y 不相互独立.,P82习题12,18.,解,=,x2,0，,0 x2,=,y1,0，,0y1,因为,fX(x)fY(y)=f(x,y)，,所以,X与Y相互独立.,
