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1、流体力学中的三大基本方程,刘颖杰,1 连续性微分方程,理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用数学描述：单位时间流出的质量-单位时间流入的质量+单位时间质量的累积or增量=0,假定流体连续地 充满整个流场，从中 任取出以 点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx，dy，dz，分别 平行于直角坐标轴x，,公式推导：,（1）单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化,y，z。设控制体中心点处流速的三个分量为,液体密度为。将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质点的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点M的质点在x方向的分速度为通
2、过控制体后表面中心点N的质点在x方向的分速度为,因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。所以单位时间内沿x轴方向,流出控制体的质量为,于是，单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量差为,流入控制体的质量为,同理可得在单位时间内沿y，z方向流出与流入控制体的质量差为,故单位时间内流出与流入微元体流体质量总变化为：,和,控制体内质量变化：,因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：,单位时间内，微元体质量增量：,（微团密度在单位时间内的变率与微团体积的乘积）,根据连续性条件：,矢量形式：,三维连续性微分方程,适用条件：不可压缩和可压缩流体 理想和实际流体 稳态及非稳态
3、流动不可压缩性流体的连续性微分方程：,or,说明流体体变形率为零，即流体不可压缩。或流入体积流量与流出体积流量相等。,稳定流动时：所有流体物性参数均不随时间而变，,二维平面流动：,2.理想流体的运动方程欧拉运动微分方程,理论依据：是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用，它建立了理想流体的密度、速度、压力与外力之间的关系。1775年由欧拉推出流体力学中心问题是流速问题，流体流速与其所受到外力间的关系式即是运动方程。,推导过程：,取微小六面控制体,牛顿第二定律or动量定理：,推导依据：,即作用力之合力=动量随时间的变化速率,分析受力：,质量力：,单位质量力：,X方向上所受质量力为：,表面力：,理想流
4、体，没有粘性，所以表面力只有压力,X方向上作用于垂直x轴方向两个面的压力分别为：,X方向上质点所受表面力合力：,流体质点加速度,的计算方法：,流速的全导数应是：,当地加速度：流场中某处流体运动速度对时间的偏导数，反映了流体速度在固定位置处的时间变化特性迁移加速度：流场由于流出、流进某一微小区域而表现出的速度变化率。,流体质点加速度,在三个坐标轴上的分量表示成：,代入牛顿第二定律求得运动方程：,得x方向上的运动微分方程：,单位体积流体的运动微分方程：,单位质量流体的运动微分方程：,同理可得y,z方向上的：,向量形式：,式中：,理想流体欧拉运动微分方程,适用条件：理想流体，不可压缩流体和可压缩流体
5、,（5）连续性微分方程和运动方程在求解速度场中的应用,这里以不可压缩粘性流体稳定等温流动为例：连续性方程：,运动方程：,1.含有四个未知量 完整的方程组。2.描述了各种量间的依赖关系。3.通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始条件）特解。即描述流体流动的完整方程组+单值性条件描述某一特定流动。,3.伯努利方程(Bernoulli),理想流体稳定流动的伯努利微分方程,由理想流体欧拉运动微分方程,是稳定流动，vx,vy,vz，p都只是坐标函数，与时间无关，方程转换去除t项,伯努利（D.Bernouli 17001782）方程的提出和意义,推导得：,Or,伯努利方程微分形式。,说明：流体
6、质点在微小控制体dxdydz范围内，沿任意方向流线流动时的能量平衡关系式。,适用范围：理想流体、稳定流体、质量力只有重力且在微小控制体dxdydz范围内沿某一根流线；物理意义：揭示了沿某一根流线运动着的流体质点速度，位移和压强、密度四者之间的微分关系。,3.1 伯努利方程积分形式,1.沿流线的积分方程：,设：,Or,理想流体微元流束的伯努利方程。,适用条件：理想流体、不可压缩性流体、稳定流动、质量力只有重力，且沿某一根流线；任选一根流线上的两点：,（流线变化了则C值变化）,静止流体：,静止容器内任一点的z 与 P/r 之和为常数。,静力学方程,物理意义及几何意义：,z:单位重量流体所具有的位能
7、NM/N；（可以看成mgz/mg）P/r:单位重量流体所具有的压力能；,物理意义：,：单位重量流体所具有的动能；,三者之和为单位重量流体具有的机械能。,理解：质量为m微团以v,运动，具有mv2/2动能，若用,重量mg除之得v2/2g,理想、不可压缩流体在重力场中作稳定流动时，沿流线or无旋流场中流束运动时，单位重量流体的位能，压力能和动能之和是常数，即机械能是守恒的，且它们之间可以相互转换。,物理意义：,几何意义：,z：单位重量流体的位置水头；（距离某一基准面的高度）P/r:单位重量流体的压力水头，或静压头；（具有的压力势能与一段液柱高度相当）,:单位重量流体具有的动压头or速度水头,速度压头
8、。,物理中：质量为m以,速度v垂直向上抛能达到的,最高高度为v2/2g,三者之和为单位重量流体的总水头。,理想、不可压缩流体在重力场中作稳态流动时，沿一根流线（微小流束）的总水头是守恒的，同时可互相转换。,几何意义：,3.2 伯努利方程的应用,可求解流动中的流体v、P及过某一截面的流量；以伯努利方程为原理测量流量的装置。皮托管（毕托管）：测量流场中某一点流速的仪器。皮托曾用一两端开口弯成直角的玻璃管测塞那河道中任一点流速。,A点为驻点,总压,皮托管：,B点：A点前选一点不受玻璃管干扰的点；A-B认为是一条流线。,列沿流线AB上两点的伯努利方程：,zA=zB,=0,PB总=PA=r(H0+h)PB=rH0,总压,静压,动压,在皮托管上再接一个静压管，即为皮托静压管，二者差即为动压。,皮托静压管,列1、2两点的伯努利方程：,欲求Q，须求,层流：,紊流：,谢 谢！,
