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1、概率论与数理统计,席 雷 2013.02,教材：概率论与数理统计（浙大 第三版）课时：51学时（讲课+习题）预备知识：高等数学、线性代数。,序 言,1.概率论与数理统计是研究什么的？它是研究随机现象的统计规律性的数学学科。,2.什么是随机现象？,客观现象分为三类：(1).确定性现象：事前可预言的现象，即在准确地重复某些条件下，它的结果是肯定的。如：银行利率，上课时间等,(2).非确定性现象（随机现象）：事前不可预言的现象，即在相同条件下重复进行实验，每次结果未必相同；或知道事物过去的状况，但未来的发展却不能预见。如：股票涨跌、等车时间、天气状况、足球比赛等。,(3).模糊现象：事物本身的含义不
2、确定的现象。如：“健康”与“不健康”、“年青”与“年老”、“网瘾”的界定等。,3.本课程内容及其联系：,1-5章为概率论的内容。6-8章是数理统计的内容。第9章之后为多元分析的内容。,4.常见应用,人口普查；（普查 抽样）经济预测；（统计模型）气象统计分析。（多元分析）,第一章 概率论的基本概念,第一节 随机事件一、基本概念 1.试验（广义）：观察与实验。一次试验：对某种现象的一次观察、测量或进行一次科学实验。,2.随机试验(E)：满足下列三个条件的试验：（1）试验在相同条件下可以重复进行；（2）试验结果可能不止一个，但能确定所有的可能结果；（3）试验前不能肯定哪个结果会发生。,例1：E1：抛
3、一枚硬币，分别用H和T表示出正面和反面；E2：掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E3：记录某网站一分钟受到的点击次数。注：今后不特别注明，试验均指随机试验。,3.样本空间:随机试验E的所有可能结果组成的集合。常用符号S或 表示。基本事件:试验的每一个可能直接出现的结果。（样本空间亦可表述为基本事件的全体组成的集合）,4.随机事件：随机试验的结果，一般定义为试验E的样本空间的子集，简称为事件，常用英文大写字母A.B.C表示。,5.基本事件与随机事件的关系：基本事件是最简单的随机事件；随机事件由基本事件组成。,事件的两种特殊情况：（1）必然事件：每次试验一定发生的事件。也用 或S表示。（2）不可能事
4、件：每次试验一定不发生的事件，用表示。,例2 写出下列事件的样本空间：E1：检验产品是否合格；E2：袋中有编号为1，2，3，n的球，从中任取一个球，观察球的号码；E3：将一枚硬币连抛三次，观察正反面出现的情况。,二.事件的关系与运算 1.子事件：事件B发生导致事件A发生，则称B是A的子事件，记为BA 或 AB 2.相等事件：若BA 且 AB，则称A与B是相等事件，记为A=B,3.事件的积（交）：A与B同时发生的事件，记为AB 或 AB 4.事件的和（并）：A发生或B发生的事件，记为AB 5.事件的差：A发生但B不发生的事件，记为A-B,6.互不相容事件：若AB=，则称A与B是互不相容事件，也称
5、A与B互斥。7.对立事件：若AB=且AB=，则称A是B的对立事件，B是A的对立事件。记A的对立事件为,三.事件的性质 1、交换律：ABBA，ABBA 2、结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)4、对偶(De Morgan)律：,四.从集合论观点看事件 样本空间全集 事件子集 基本事件单元素集 事件的运算与集合的运算一致（文氏图法 P5-6）,例3：一个工人生产了n个零件，以Ai表示他生产的第i个零件是合格品(i=1,2,n)，试用Ai表示下列事件：（1）没有一个零件是不合格品；（2）至少有一个零件是不合格品；（3）恰
6、有一个零件是不合格品；（4）至少有两个零件是合格品。,第二节 频率与概率,抛一枚硬币，考察币值面向上的概率是多少？（P8 表二）用试验来发现规律，首先要定义频率的概念。,一.频率的概念 1.定义：设事件A在n次试验中发生了nA次，则 称为A在n次试验中发生的频率，记为,二.频率的性质 1.随机波动性 2.稳定性 当试验次数n充分大时，频率常在一个确定的数p(0p1)附近波动，这个规律称为频率的稳定性。,三.概率的定义 1.描述性定义：A发生的可能性大小的度量称为A发生的概率，记为P(A)2.统计定义：当n较大时，P(A)=f n(A),3.概率的公理化定义：设试验的样本空间为，事件的函数 满足
7、下面三个条件：（1）0P(A)1（2）（3）对于两两互不相容事件，A1，A2，则称 为概率函数，称P(A)为A发生的概率。,四.概率的性质 1.2.若A1，A2，An两两互不相容，则 特例，若A，B互不相容，则P(AB)=P(A)+P(B),3.设 是A的对立事件，则有若 4.设AB，则有P(A)P(B)，P(B-A)=P(B)-P(A)5.P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)推广 P(AB C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC),例1：某市有甲、乙、丙三种报纸，订每种报纸的人数分别占全体市民总数的30%，其中有10%的人同时定甲、乙两种报纸
8、，没有人同时订甲、丙或乙、丙报纸。求：从该市任选一人，他至少订有一种报纸的概率。,例2：在110这10个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被2或3整除的概率；（2）取到的数既不能被2也不能被3整除的概率；（3）取到的数能被2 整除而不能被3整除的概率。,第三节 古典概型,一、定义：若某试验E满足1.有限性：样本空间只包含有限个元素，即 S=e1,e2,en；2.等可能性：每个基本事件发生的可能性相同，即P(e1)=P(e2)=P(en)则称E为古典概型，也叫等可能概型。,二.古典概型中的概率计算 N(A):事件A所含的基本事件数。N(S):样本空间S中的事件总数。则 P(A)=N(A)/N(
9、S),例1：有三个子女的家庭，设每个孩子是男是女的概率相等，则至少有一个男孩的概率是多少？,解：设A表示至少有一个是男孩，m表示男孩，n表示女孩 则事件总数 N(S)=mmm,mmn,mnm,mnn,nmm,nnm,nmn,nnn 事件A所包含的基本事件数 N(A)=mmm,mmn,mnm,mnn,nmm,nnm,nmn 故P(A)=N(A)/N(S)=7/8,例2：袋中有a个红球，b个白球，依次从袋中摸球，每次摸一个，若采用不放回和有放回两种方式摸球，分别求第k次摸出红球的概率。该例题可说明抽签原理：即抽签顺序与中签的概率无关。,例3：某批产品有a件正品和b件次品，从中用有放回和不放回抽样方
10、式抽取n件产品，问恰有k件次品的概率是多少？,完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法,解排列组合问题的一般方法,1.分类计数原理(加法原理),完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法,2.分步计数原理（乘法原理）,分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件,3.分类计数原理分步计数原理区别,分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以
11、独立地完成这件事。,例：n个朋友随机地围绕圆桌就座，求其中两个人一定坐在一起（即座位相邻）的概率。,第四节 条件概率,问题：考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率一样，则两个孩子（依大到小）的性别（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女）的可能性一样，记A=“家庭中有一男一女孩”，B=“家庭中至少有一女孩”。求：已知家庭中有一女孩的条件下，另一个是男孩的概率。,分析：该问题等价于求已知B发生的条件下，A发生的概率。记为P(AB)由于AB 故P(AB)=P(A)=1/2 P(B)=3/4 因总事件为3（除去两个男孩的情况），基本事件为2（一男一女），所以 P(AB)=2/3，正好等于P(AB)
12、/P(B)的值。,一.条件概率的定义 若P(B)0,称P(AB)=P(AB)/P(B)为已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。注：条件概率也具备概率的所有性质。,例1：m件产品中包含n件废品，今在其中任取两件，试求：在已知取出的两件中有一件是废品的条件下，计算另一件也是废品的条件概率。,方法一(定义)：设A=“两件产品中至少有一件废品”B=“两件产品均是废品”BA，P(AB)=P(B)=P(A)=故P(BA)=P(AB)/P(A)=,方法二(缩减的样本空间)：*样本空间*含有的总事件数=故P(BA)=,二.推论（乘法定理）P(AB)=P(B)P(AB)=P(A)P(BA)推广：P(ABC)
13、=P(A)P(BA)P(CAB),例2：盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次，试求第1，2次取得白球，第3，4次取得红球的概率。,解：设第Ai为第i次取球时取到白球，则本题即求 的值。故,三.全概率公式与贝叶斯公式1.划分的定义：设 为试验E的样本空间，A1,A2,An为E的一组事件，若它们满足下面两个条件：(1)(2)则称A1,A2,An 为样本空间的一个划分。,例3：市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2%、1%、3%，
14、试求市场上该品牌产品的次品率。,解：设B：买到一件次品 A1：买到一件甲厂的产品 A2：买到一件乙厂的产品 A3：买到一件丙厂的产品 故,2.全概率公式：设 A1,A2,An 为样本空间S的一个划分。且P(Ai)0，则对任何事件BS，有,例4：有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，一个红球，乙袋中有两个红球，一个白球。这六个球的质感相同。（1）今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率。（2）若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少。,解：（1）设B：从乙袋任取一球是红球 A1：从甲袋放入乙袋的是白球 A2：从甲袋放入乙袋的是红球 因P(A1)=2/3
15、 P(A2)=1/3 所以A1,A2是一划分则,（2）由上一问中假设，即求P(A1B)的值,3.贝叶斯公式：设事件 A1,A2,An 为样本空间S的一个划分。且P(Ai)0，B为S内的任一事件，P(B)0，则有,例5：商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，（1）若选中的一箱中有一个次品，从中任选4只检查，结果都是好的，问这一概率是多少？（2）若任选一箱，检查了4只都是合格的，便买下了这一箱，问这一箱含有一个次品的概率是多少？,解：（1）设A：从一箱中任取4只检查,结果都是好的.B0,B1,B2：分别表示每箱含0，1，2个次
16、品 已知 P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1，则,（2）由已知，由贝叶斯公式,第五节 事件的独立性,一、两个事件独立性的定义：若A、B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称A与B互相独立。注：必然事件或不可能事件与任何事件独立。,定理1 A与B独立的充要条件是 P(AB)P(A)或 P(BA)=P(B),定理2 若A与B独立，则 与，A与，与 也都相互独立。注：实际问题根据实际意义判别独立性，互不影响的事件独立。,二、n个事件独立性的定义：n个事件中任意多积事件的概率等于各个事件概率的积，则称这n个事件互相独立。,如三个事件的情形：P(AB)=P(A)P(B)P(AC)
17、=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称A，B，C互相独立。注：互相独立能推出两两独立，反之未必成立。,定理3 若A1,A2,An 互相独立，则A1,A2,An 中的任意多个事件换成它们的对立事件，则所得的n个事件仍然独立。,定理4 若A1,A2,An 互相独立。则,例1：在如图所示的开关电路中，开关a,b,c,d接通断开的概率都是0.5，设开关接通与否互不影响，求灯亮的概率。,解：设事件A、B、C、D分别表示开关a、b、c、d接通，E表示灯亮，则 E=AB CD 所以 P(E)=P(AB CD)=P(A)+P(B)+P(CD)-P(AB)-P(ACD)-P(BCD)+P(ABCD)=0.5+0.5+0.25-0.25-0.125-0.125+0.0625=0.8125,第一章 小结 六个概念：随机试验，事件，概率，条件概率，划分，独立性四个公式：加法，乘法，全概率，贝叶斯公式一个概型：古典概型,
