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1、1,第一章 基础知识：时域离散随机信号分析1.1 随机序列与随机矢量,1.1.1时域离散随机信号(随机序列)1.随机序列的特征:随机序列是所有可能的随机变量的集合,其特征是:幅度和时间均取离散值。其中离散时间用序号 表示；每个时间点上的信号取值是随机的,不可预测。,2,2.符号与意义:,3,注意:为方便计，以下讨论有时用 或 表示随机序列或随机变量；将样本序列简单表示为:;,根据随机过程的定义，一个随机序列就是一个随机过程。,4,1.1.2随机矢量,随机矢量，是有限维或无限维随机变量的集合，表示为:其中，表示随机变量在时间 的样本值。有限维(维)随机矢量：常用：一维；二维。,5,1.2 随机序
2、列的统计描述,随机变量取值是随机的，但其统计特性(包括概率特性和统计平均特性)是确定的，因此时域可用其特性量表征；频域用功率谱表征。,6,二维:描述随机序列中两个时间点(与)上的随机变量 与 之间的关系，即 上式含义:与 点的随机变量 与，其取值同时满足 及 的概率,亦称“二维联合概率分布函数”。,1.2.1概率描述1.概率分布函数一维:描述随机序列在某一时刻 的统计特性,即 上式含义：随机变量 在点 上取值不超过 的概率。,7,2.概率密度函数一维:设 取连续值,则一维概率密度函数定义为:(1.2.3)因此，可等价表示为：式中，是在范围 到 内，取值的微概率。二维:对于连续变量 和,其二维概
3、率密度函数为：(1.2.4),8,说明:概率分布函数可完整地描述随机序列,但实际中却很难得到。而随机序列的数字特征（统计平均值，方差，相关函数等）比较容易测量和计算。因此常用这些数字特征描述随机序列。,9,1.2.2 随机序列的数字特征,1.数学期望(统计平均值,一阶原点矩)定义：(1.2.5)意义:表示随机过程的全部样本在同一时刻(点)随机变量 取值的中心(统计平均值)。,随机变量在n时刻的取值,取值区间x,x+x上的微概率(密度函数),10,2.均方值与方差（1）均方值(二阶原点矩)定义:(1.2.6)意义:如果 代表电流或电压,均方值则表示在 时刻消耗在1电阻上的集合平均功率。（2）方差
4、(二阶中心矩)定义:(1.2.7),有时将x称为标准方差,11,意义:方差表示 取值的分散程度（或偏离中心值的大小）。如果 代表电流或电压,方差则表示消耗在1电阻上的交变功率的集合平均.3.相关函数与协方差函数（1）自相关函数(二阶联合原点矩)定义:(1.2.8)式中的“*”表示复共轭。意义:反映同一随机序列在不同时刻取值的关联程度。,12,（2）自协方差函数(二阶联合中心矩)定义:(1.2.9)或者表示为：(1.2.10)若,则(1.2.11)即对零均值随机序列,自相关函数与自协方差函数相等。意义:反映同一随机序列在不同时刻取值偏离中心值的关联程度。,13,（3）互相关函数定义:(1.2.1
5、2)意义:描述两个随机序列在不同时刻取值的关联程度.（4）互协方差函数定义:(1.2.13)当 时，有(1.2.11)意义:描述两个随机序列在不同时刻取值偏离中心值的关联程度。,14,1.2.3 平稳随机序列及其数字特征,1.何谓平稳随机序列?平稳随机序列的统计特性不随时间的平移而变化.狭义(严)平稳随机序列:其 维概率分布函数满足：(1.2.12)即这类平稳随机序列的 维概率分布函数与 的起始位置无关.实际很难实现狭义(严)平稳随机序列,将随机序列在时间上平移k,其统计特性不变,意味着与时间起点无关,15,广义(宽)平稳随机序列:均值和均方差不随时间改变,其相关函数仅是时间差的函数.下面重点
6、研究广义平稳随机序列,并简称为“平稳随机序列”.2.实平稳随机序列的数字特征（1）与时间 无关的数字特征：均值:(1.2.13)均方值:(1.2.14),16,方差:(1.2.15)（2）与起始时间 无关,仅与时间差 有关的数字特征自相关函数:(1.2.16a)或(1.2.16b),17,自协方差函数:(1.2.17)互相关函数:或(1.2.18)互协方差函数:(1.2.19),18,3.实平稳随机序列的相关函数,协方差函数的性质（1）是 的偶函数:(1.2.20)(1.2.21)（2）的值等于随机序列的平均功率:(1.2.22),参见：1王永德.随机信号分析基础(第二版).p46,p492王
7、宏禹.随机数字信号处理.p4,19,（3）(1.2.23)（4）随着时间差的增大,随机序列内部的相关性减弱:(1.2.24)(1.2.25)（5）(1.2.26)(1.2.27),20,4.平稳随机序列互为正交与互不相关条件（1）正交 对于所有的,若满足:,则称两个随机序列相互正交.（2）不相关 于所有的,若满足:,则称两个随机序列互不相关.小结 对于平稳随机序列,其数字特征中最主要的是自相关函数.表现为:,问题:解释正交条件和互不相关条件.,21,时,均方值；当 时,与 不相关,则；当 时,；频域:当 时,功率谱函数。,22,1.2.4随机序列数字特征的矢量表示,已知 维随机矢量为 的均值矢量 的均值 是一个 维矢量:(1.2.28)式中,为 维随机矢量 的联合概率密度函数:,23,的自相关矩阵 是一个 阶正半定对称矩阵:(1.2.29)的自协方差矩阵 也是一个 阶正半定对称矩阵:(1.2.30)和 之间的关系为：(1.2.31)当 时,.,这里采用“现代数字信号处理简明教程”一书的符号Cxx.,
