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1、第二章 部分习题分析与解答,2-2 假使地球自转速度加快到能使赤道上的物体处于失重状态,一昼夜的时间有多长?,解答:,按题意有:,分析:,由于物体地球自转时,有向心加速度存在.当提供此加速度的力即为重力时,物体处于失重状态,由向心加速度和角速度的关系就可得一昼夜所需的时间.,则地球自转一天所需的时间为:,2-4 图示一斜面,倾角为,底边AB长为l=2.1m,质量为m的物体 从斜面顶端由静止开始向下滑动,斜面的摩擦因数为=0.14.试问,当为何值时,物体在斜面上下滑的时间最短?其数值为多少?,解答:,取沿斜面为坐标轴Ox,原点O位于斜面顶点,则由牛顿第二定律有,分析:,该题关键在列出动力学和运动
2、学方程后,解出倾角与时间的函数关系=f(t),然后运用对 t求极值的方法即可得出数值来.,又物体在斜面上作匀变速直线运动,故有:,则:,为使下滑时间最短,可令,由上式得:,则可得:,此时:,2-8 直升飞机的螺旋桨由两个对称的叶片组成.每一叶片的质量m=136kg,长l=3.66m,求当它的转速n=320r/min时,两个叶片根部的张力.(设叶片是宽度一定、厚度均匀的薄片）,分析:,螺旋桨旋转时，叶片上各点的加速度不同，在其各部分两侧的张力也不同；由于叶片的质量是连续分布的，在求叶片根部的张力时，可选取叶片上一小段，分析其受力，列出动力学方程，然后采用积分的方法求解。,解答:,设叶片根部为原点
3、O，沿叶片背离原点O的方向，距原点O为r处为dr一小段叶片，其两侧对它的拉力分别为FT（r）与FT（r+dr）叶片转动时，该小段叶片作圆周运动，由牛顿定律有,由于 时外侧,所以有:,上式中取,即得叶片根部的张力,负号表示张力方向与坐标方向相反.,2-9在一只半径为R的半球形碗内，有一粒质量为m的小钢球。当钢球以角速度在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗旅底有多高？,分析:,维持钢球在水平面内作匀角速度转动时，必须使钢球受到一与向心加速度相对应的力（向心力），而该力是由碗内壁对球的支持力FN的分力来提供的，由于支持为FN始终垂直于碗内壁，所以支持力的大小和方向是随而变的。取图示Oxy坐标，
4、列出动力学方程，即可求解钢球距碗底的高度。,解答:,取钢球为隔离体,其受力分析如图所示.在图示坐标中列动力学方程:,且有:,由上述各式可解得钢球距离碗底的高度为:,可见,h随 的变化而变化.,2-10一质量为m的小球最初位于如图2-10(a)所示的A点，然后沿半径为r的光滑圆轨道ADCB下滑。试求小球到达点C时的角速度和对圆轨道的作用力。,分析:,该题可由牛顿第二定律求解。在取自然坐标的情况下，沿圆弧方向的加速度就是切向加速度at，与其相对应的外力Ft是重力的切向分量mgsin,而与法向加速度an相对应的外力是支持力FN和重力的法向分量mgcos.由此，可分别列出切向和法向的动力学方程Ft=m
5、dv/dt和Fn=man.由于小球在滑动过程中加速度不是恒定的，因此，需应用积分求解，为使运算简便，可转换积分变量。,解答:,小球在运动过程是受到重力P和圆轨道对它的支持力FN,取如图所示的自然坐标系,由牛顿定律得:,代入(1)式,并根据小球从点A运动到点C的始末条件,进行积分,有:,得:,则小球在点C的角速度为:,由式(2)得:,由此可得小球对圆轨道的作用力为:,负号表示 与 反向.,2-12一质量为10kg的质点在力F=（120N.s-1)t+40N的作用下，沿x轴作直线运动。在t=0时，质点位于x=5.0m处，其速度vo-1.求质点在任意时刻的速度和位置。,分析:,这是在变力作用下的动力
6、学问题。由于力是时间的函数，而加速度a=dv/dt，这时，动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程，解此微分方程可得质点的速度v(t)；由速度的定义v=dx/dt，用积分的方法可求出质点的位置。,解答:,因加速度,在直线运动中,根据牛顿定律有:,依据质点运动的初始条件,即t0=0时,v0=6.0ms-2,运用分离变量法对上式积分,得:,又因v=dx/dt,并由质点运动的初始条件:t0=0时x0=5.0m,对上式分离变量积分,有,2-13轻型飞机连同驾驶员总质量为1.0103kg,飞机以55.0ms-1的速率在水平跑道上着陆后,驾驶员开始制动,若阻力与时间成正比,比例系数=5.0102 Ns-1
7、,求(1)10s后飞机的速率;(2)飞机着陆后10s内滑行的距离.,分析:,飞机连同驾驶员在水平跑道上运动可视为质点作直线运动,其水平方向所受制动力F为变力,且是时间的函数,在求速率和距离时,可根据动力学方程和运动学规律,采用分离变量法求解.,解答:,以地面飞机滑行方向为坐标正方向,由牛顿定律及初始条件,有:,因此,飞机着陆10s后的速率为:,又,故飞机着陆后10s内所滑行的距离为:,2-15 自地球表面垂直上抛一物体,要使它不返回地面,其初速度最小为多少?(略去空气阻力作用),分析:,要使竖直上抛物体能脱离地球不再返回地面,即使其离开地球引力的范围,其速度V0,为此,可根据物体在地球引力场中的动力学方程导出V-r关系加以讨论,就可确定脱离地球引力场所需的最小初速度即逃逸速度.,解答:,由动力学方程得:,为使初速度最小,可取末速度接近于零,即v=0,此时物体可视为无限远,即h,由上式可得:,2-16 质量为45.0kg的物体,由地面以初速60.0ms-1竖直向上发射,物体受到空气的阻力为Fr=kv,且k=0.03N/ms-1.（1）求物体发射到最大高度所需的时间.（2）最大高度是多少?,解答:,(1)物体 在空中受重力mg和空气阻力Fr=kv作用而减速.由牛顿定律得,根据始末条件对上式积分,有:,(2)利用 的关系代入式(1),可得:,分离变量后积分:,
