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1、第10章 矩阵特征值与特征向量的计算,10.1 幂法及反幂法10.2 Jacobi方法10.3 QR方法10.4 特征值与特征向量的MATLAB函数求解10.5 实例解析,本章目标：计算矩阵的特征值及对应的特征向量,一、幂法,条件：A 有特征根|1|2|n|0，对应n个线性无关的特征向量,|i/1|1,当k 充分大时，有,这是A关于1的近似特征向量,思路：从任意 出发，要求,10.1 幂法及反幂法,规范化,为避免大数出现，需将迭代向量规范化，即每一步先保证，再代入下一步迭代。一般用。,一般地,不妨设：,A 为实方阵,有特征值|1|2|n|,对应n个线性无关的特征向量,当|1|=|2|时,需分情
2、况加以讨论:(1)1=2;(2)1=-2;(3)1,2为共轭复数;,算法的一般化实际计算中的幂法,1 1=-2;|1|3|n|,从任意 出发，,不妨假定,当k 充分大时,有:,所以,可以证明，对应于1的A的特征向量为：,事实上，,类似地，对应于2的A的特征向量为：,2|1|=|2|3|n|,此时,1 和2有可能是共轭复数(也可能1=2,也可能是情况11=-2);|1|3|.,不妨假设,当k 充分大时,有:,Q:如何找到表示1(2)的较好的关系呢?,不难验证:间近似地成立下述线性关系,为求得1 和2,可任取两组分量,并解下列方程组得p,q:,其余分量是否也满足关系式?若满足,即,1 和2是方程2
3、+p+q=0 的两个根:,显然:p24q,1 和2是共轭复根;若p2=4q,则1=2;若p=0,则1=-2.,不难验证:A的对应于1的特征向量为：,A的对应于2的特征向量为：,小结:,根据以上讨论,用乘幂法进行计算:当k 充分大时,检查是否出现下列三种情况之一:,(1)趋近于某一常数;,(2)趋近于某一常数;,(3)的波动不规律,但相继三向量,间满足关系,若是,就可求出A的模最大的特征值和相应的特征向量.,注:实际计算时,由于其他情况的存在,上述三种情况均不出现时,需考虑其他算法.因此乘幂法在某种意义上来说只能用来试算.,原点平移法,决定收敛的速度，特别是|2/1|,希望|2/1|越小越好。,
4、不妨设 1 2 n，且|2|n|。,p=(2+n)/2,思路,令 B=A pI，则有|IA|=|I(B+pI)|=|(p)IB|A p=B。而，所以求B的特征根收敛快。,p 是假定的,p 究竟是多少?,p 的选择或凭借于经验,或通过多次试算而得.,二、反幂法,Q:How must we compute in every step?,A:Solve a linear system with A factorized.,若知道某一特征根 i 的大致位置 p,即对任意 j i 有|i p|j p|,并且如果(A pI)1存在，则可以用反幂法求(A pI)1的主特征根 1/(i p)，收敛将非常快。,
5、思路,(1)用反幂法求A的按模最小的特征根,(2)利用反幂法将特征根的近似值精确化,若j是A的特征值j 的近似值,且设j是A的特征方程的单根,并满足:|j j|i j|,ij.,j j是A-jI的按模最小特征值.,给定实对称矩阵A，计算步骤如下：(1)找出A中非对角元素绝对值最大的元素aij，确定i和j;(2)用下列公式确定cos和sin：当aii=ajj,aij0时,取=/4;当aii=aij,aij0时,取=-/4;当aiiaij时,(3)对A作正交变换,(4)以A1代替A，重复(1),(2),(3)，直至|aij|(ij)时为止此时Ak中对角线元素即为所求的特征值，逐步变换矩阵Rl,R2
6、,Rk的乘积 UkR1R2.Rk 的列向量即为所求的特征向量.,10.2 Jacobi方法,设A为nn阶非奇异矩阵令A1=A,对A1进行QR分解,则A1=Q1R1,再令 A2=R1Q1;这就完成一次迭代 一般迭代公式为 Ak=QkRk,Ak+1=RkQk,k=1,2,由此得到一矩阵序列Ak,设A的n个特征值满足|1|2|n|0,则当n 时,Ak本质上收敛于一三角矩阵R.于是R主对角线上的元素就是所求的特征值.,矩阵A的QR分解可借助于施密特正交化过程得到.记A的n个列依次为1,2,n.,10.3 QR方法,单位化,A=,Q,R,(r1 r2 rn-1 rn),将A按列向量1,2,n用正交化向量
7、表示出来,10.4 特征值与特征向量的MATLAB函数求解,MATLAB提供的eig()函数可以很方便地用来求解矩阵特征值与特征向量问题，该函数的调用格式为：V,D=eig(A)V,D=eig(A,nobalance)V,D=eig(A,B)V,D=eig(A,B,flag)其中，V是特征向量组成的矩阵（其每一列对应矩阵A的一个特征值），D是由特征值构成的对角矩阵。Nobalance表示直接求解矩阵A的特征值和特征向量，没有这个参数的时候会先对A进行相似变换，然后求矩阵A的特征值和特征向量。当表达式中含有参数B时，函数eig()计算广义特征向量矩阵V和广义特征值矩阵D，满足AV=BVD。参数flag用来指定算法计算特征值D和特征向量V，flag的值为chol表示对B使用cholesky分解算法，这里A为对称Hermitian矩阵，B为正定阵；flag的值为qz表示使用QZ算法，这里A和B为非对称或非Hermitian矩阵。另外，针对稀疏矩阵，MATLAB还提供了eigs()函数来求解矩阵的特征值和特征向量，该函数的调用格式为：V,D=eigs(A,k)其中k表示返回前k个最大的特征值，其默认值为6。其余参数的含义同于eig()函数。,
