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1、7.4 QR算法,7.4.3 带原点位移的QR算法,7.4.2 QR算法及其收敛性,7.4.1 化矩阵为Hessenberg形,7.4.1 化矩阵为Hessenberg形,定理7.9（实Schur分解定理）,为（初等）镜面反射矩阵，或Householder变换矩阵。,Houholder矩阵H=H（w）有如下性质：,(1),(2),(3)记S为与w垂直的平面,则几何上x与y=Hx关于平面S对称。事实上,由,对应于性质（2），有下面的定理。,证,由此可得,定理得证。,（7.4.2）,（7.4.3）,例7.4,解,证,变换，有,如此类推，经n-2步对称正交相似变换，得到Hessenberg形矩阵。,
2、7.4.2 QR算法及其收敛性,上式左边为正交阵，即,这个式子左边是下三角阵，则右边是上三角阵，所以只能是对角阵。设,定理得证。,一般按平面旋转变换或镜面反射变换作出的分解A=QR，R的对角元不,（7.4.5）,证 容易证(1)从它递推得,例7.5 用QR方法求下列矩阵的全部特征值。,该矩阵A非对称，从计算结果看，收敛于上三角阵。,（2）的计算结果为,从计算结果来看，迭代收敛于Schur分块上三角形，对角块分别是1阶和2阶子,一般在实际使用QR方法之前，先用镜面反射变换将A化为Hessenberg形矩阵H，然后对H作QR迭代，这样可以大大节省运算工作量。因为上 Hessenberg阵H的 次对
3、角线以下元素均为零，所以用平面旋转变换作QR分解较为方便。,对i=1,2,.n-1,依次用平面旋转矩阵J（i,i+1）左乘H，使J（i,i+1）H的第i+1行第i列元素为零。左乘J(i,i+1)后，矩阵H的第i行与第i+1行零元素位置上仍为零，其他行不变。这样，共n-1次左乘正交矩阵后得到上三角阵R。即=R，=J（n-1,n）J(n-2,n-1)J(1,2)。可以验证 是一个下Hessenberg阵，即U是一个上Hessenberg阵。这样，得到H的QR分解H=UR。在作QR迭代时，下一步计算RU，容易验证RU是一个上Hessenberg阵。以上说明了QR算法保持了H的上Hessenberg结
4、构形式。,解,重复上面的过程，计算11次得,至此，不难看出，一个特征值是4，另一个特征值是-1，其他两个特征值是方程,上述用QR方法求得的特征值是该特征方程的准确解。,7.4.3 带原点位移的QR算法 前面我们介绍了在反幂法中应用原点位移的策略，这种思想方法也可用于QR算法。一般我们针对上Hessenberg矩阵讨论QR算法，并且假设每次QR迭代中产生的 都是不可约的，否则，可以将问题分解为较小型的问题。这样，带原点位移的QR算法可以描述为：,根据QR算法的收敛性质，位移量有下列两种取法：,例7.7 用带原点位移的QR算法求下列矩阵的特征值：,解 先用镜面反射变换把A化为上Hessenberg矩阵。按（7.4.3）式有,该问题如果不用带原点位移的QR算法，而是用基本QR算法，则收敛速度很慢，计算结果为,
