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1、第六章 状态反馈和状态观测器,6.1 状态反馈和输出反馈6.2 极点配置问题6.3 状态观测器6.4 带状态观测器的状态反馈系统,在自动控制系统中，反馈控制是最主要的控制方式，状态空间设计也不例外。因此本章主要讨论在状态空间设计中两种常用的设计方法：状态反馈和输出反馈。,6.1 状态反馈和输出反馈,6.1.1 状态反馈,所谓状态反馈是将受控系统的每一个状态变量，按照线性反馈规律反馈到输入端，构成闭环系统。这种控制规律称为状态反馈，其结构图如下：,图中受控系统的状态空间表达式为 的状态空间表达式为,式中，A为nn矩阵；B为nr矩阵；C为mn矩阵。,状态反馈控制律为,式中，r为r1参考输入；K为r
2、n状态反馈阵。对单输入系统，K为1n的行向量。,状态反馈闭环系统的状态空间表达式为,简记为。该系统的闭环传递函数阵为,经过状态反馈后，系数矩阵C和B没有变化，仅仅是系统矩阵A发生了变化，变成了。也就是说状态反馈矩阵K的引入，没有增加新的状态变量，也没有增加系统的维数，但可以通过K阵的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统达到所要求的性能。,输出反馈是将受控系统的输出变量，按照线性反馈规律反馈到输入端，构成闭环系统。这种控制规律称为输出反馈。经典控制理论中所讨论的反馈就是这种反馈，其结构图如下：,6.1.2 输出反馈,图中受控系统的状态空间表达式为 的状态空间表达式为,输出反馈控制律为,式中
3、，H为rm输出反馈阵。对单输出系统，H为r1的列向量。,输出反馈闭环系统的状态空间表达式为,简记为。该系统的闭环传递函数阵为,经过输出反馈后，闭环系统同样没有引入新的状态变量，仅仅是系统矩阵A变成了。比较这两种反馈形式，若令，则。因此输出反馈只是状态反馈的一种特殊情况。,6.1.3 闭环系统的能控性和能观测性,上述两种反馈控制，其闭环系统的能控性和能观测性相对于原受控系统来说，是否发生变化，是关系到能否实现状态控制和状态观测的重要问题。,定理1：状态反馈不改变受控系统 的能控性，但却不一定保持系统的能观测性。,定理2：输出反馈系统不改变原受控系统 的能控性和能观测性。,则,证明：假定开环系统能
4、控，A，b可为能控标准形,A-bK仍为能控标准形，所以只要开环能控，组成状态反馈系统后仍然能控。,例：设系统的状态空间表达式为,试分析系统引入状态反馈 后的能控性和能观测性。,解：容易判断原系统是能控且能观测的。引入 后，闭环系统 的状态空间表达式为,不难判断，系统 是能控的，但不是能观测的。可见引入状态反馈 后，闭环系统保持了能控性不变，而不能保持能观测性。,6.2 极点配置,控制系统的稳定性和动态性能主要取决于系统的闭环极点的分布。因此在进行系统设计时，可以根据对系统性能的要求，规定系统的闭环极点应有的位置。所谓极点配置，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵，使系统的闭环极点恰好配置在所希
5、望的位置上，以获得所希望的动态性能。,6.2.1 状态反馈极点配置,定理：受控系统 利用状态反馈矩阵K，能使其闭环极点任意配置的充要条件是受控系统 完全能控。,1、极点配置定理,2、极点配置方法,一个系统完全能控条件下，状态反馈阵K如何确定。,闭环系统的特征方程为：,引入状态反馈，状态反馈矩阵为：,假设闭环系统希望的极点为,实际系统与希望系统的特征方程的系数应当相一致。,1）判断A，b能控性2）写出实际的闭环特征方程（传递阵的分母为0的方程）,3）根据要配置的特征根，写出希望的特征方程,4）对应实际的与希望的特征方程，求出K。,3、状态反馈阵K的计算步骤,传递函数可控标准型极点配置；,状态方程
6、可控性判别极点直接配置（A-BK）；,状态方程可控性判别线性变换可控标准型极点配置 逆变换,例：已知系统的状态空间表达式为,试求使状态反馈系统具有极点为-1和-2的状态反馈阵K。,解：因为,所以原系统是完全能控的，通过状态反馈可以实现任意的极点配置。设,则状态反馈闭环系统的特征多项式为,而希望的特征多项式为,令以上两个特征多项式相等，可解得：,所以,由K可画出状态反馈闭环系统的结构图,例：设传递函数为：,解：1）根据传递函数，可知SISO系统可控可观；2）可控标准型动态方程为：,3）闭环特征多项式为：,4）闭环传递函数为：,例：设受控系统传递函数为：,解：将极点配置为一对主导极点和一个非主导极
7、点；根据二阶系统的性能指标，求出则，主导极点为：,非主导极点为：,闭环特征多项式为：,原系统的特征多项式为：,闭环传递函数：,6.2.3 输出反馈极点配置,输出反馈有两种方式，下面均以多输入单输出受控对象为例来讨论。,（1）输出反馈至状态微分，系统的结构图如下,状态反馈的特性：（1）状态反馈不能移动系统的零点（2）当系统不完全能控时，状态反馈只能配置系统能控部分的极点，而不能影响不能控部分的极点,该受控系统的状态空间表达式为,则输出反馈闭环系统为,即,定理：采用输出至状态微分的反馈可任意配置闭环极点的充要条件是：受控系统状态完全能观测。,（2）输出反馈至参考输入，系统的结构图如下,其中,则输出
8、反馈闭环系统的状态空间表达式为,定理：对完全能控的受控系统（A,B,C），不能采用输出线性反馈来实现闭环极点的任意配置。,6.3 状态观测器设计,反馈的类型：,1）输出反馈至输入处：,2）状态反馈至输入处：,3）状态反馈至状态微分处：,4）输出反馈至状态微分处：,通过状态反馈可以实现任意的极点配置，但是实际系统的状态变量不是都能用物理方法测得到的，从而给状态反馈的实现带来了困难。为此，人们提出了状态重构或称为状态观测的问题。也就是设法利用系统中可以测量的变量来重构状态变量，从而实现状态反馈。,一、状态重构原理,所谓状态观测器，就是人为地构造一个系统，从而实现状态重构也即状态观测。,二、具体实现
9、,如何构造这样一个系统呢？直观的想法是按照原系统的结构，构造一个完全相同的系统。由于这个系统是人为构造的，所以这个系统的状态变量是全都可以测量的。,通常称 为 的重构状态或状态估计值，而称这个用以实现状态重构的系统为状态观测器。状态观测器是人为构造的，可以全部测量出来。,A、B、C、u、y均已知，但由于初值和干扰未知，的值未知,两个系统的初始状态不可能完全一样，所以,为消除状态误差，可以在此基础上引入输出反馈。,被控系统,模拟系统,状态估计误差：,其解为,合理配置极点，使,只要选择状态观测器的系数矩阵 的特征值均具有负实部，就可以使状态估计 逐渐逼近状态的真实值，即,三、观测器的极点配置和存在
10、条件,观测器的极点也就是 的特征值，它对于观测器的性能是至关重要的，这是因为：,（1）要使观测器成立，必须保证观测器的极点均具有负实部。,（3）其极点还决定了观测器的抗干扰能力。响应速度越快，观测器的频带越宽，抗干扰的能力越差。,（2）观测器的极点决定了 逼近 的速度，负实部越大，逼近速度越快，也就是观测器的响应速度越快。,通常将观测器的极点配置得使观测器的响应速度比受控系统稍快一些，这就要求其极点可以任意配置。那么在满足什么条件时，观测器的极点才可以任意配置呢？,定理：线性定常系统，其观测器的极点可任意配置的充要条件是 是完全能观测的。,定理：线性定常系统，其渐近观测器存在的充要条件是其不能
11、观测部分是渐近稳定的。,四、全维状态观测器的设计,观测器的维数与受控系统 的维数n相同，称为全维状态观测器或n维状态观测器。,全维状态观测器的设计方法类似于状态反馈极点配置问题的设计方法。首先根据要求的观测器的极点配置，写出观测器希望的特征多项式。然后令观测器的特征多项式 等于希望的特征多项式，即可解得G阵，进而可写出观测器的状态方程。,输出反馈阵G的计算步骤,传递函数可观标准型极点配置；,状态方程可观性判别极点直接配置（A-GC）；,状态方程可观性判别线性变换可观标准型极点配置 逆变换,例：设线性定常系统的状态空间表达式为,试设计全维状态观测器使其极点为-10，-10。,解：1）判断系统能观
12、测性,所以系统是完全能观测的，状态观测器是存在的，并且其极点可以任意配置。,2）根据观测器的极点要求，可写出观测器希望的特征多项式为：,令观测器的反馈矩阵为,3）设状态观测器为,则观测器的特征多项式为,令上述两特征式相等得,解得。所以全维状态观测器为,由上式可画出全维状态观测器得结构图，如下,被控系统,状态观测器,全维状态观测器的设计,观测器的维数与受控系统 的维数n相同，称为全维状态观测器或n维状态观测器。,全维状态观测器的设计方法类似于状态反馈极点配置问题的设计方法。首先根据要求的观测器的极点配置，写出观测器希望的特征多项式。然后令观测器的特征多项式 等于希望的特征多项式，即可解得G阵，进
13、而可写出观测器的状态方程。,输出反馈阵G的计算步骤,传递函数可观标准型极点配置；,状态方程可观性判别极点直接配置（A-GC）；,状态方程可观性判别线性变换可观标准型极点配置 逆变换,6.4 带状态观测器的状态反馈系统,状态观测器解决了受控系统的状态重构问题，为那些状态变量不能直接测量得到的系统实现状态反馈创造了条件。,一、系统的结构,带状态观测器的状态反馈系统由3部分组成，即原受控系统、观测器和状态反馈。下图是一个带有全维状态观测器的状态反馈系统。,由于受控系统既要实现观测器又要进行状态反馈，因此设受控系统是能控且能能观的，其状态空间表达式为,状态反馈子系统：,状态观测器子系统：,上式又写成分
14、块矩阵的形式，组成复合系统：,显然这是一个2n阶系统，有2n个状态变量。为便于后面的分析，进一步取其中的n个状态变量为状态误差，即，则,又,故式（1）又可变换成为,式（1）,二、系统的基本特性,1、闭环极点的分离特性,根据分块矩阵的行列式，可得闭环系统的特征多项式为,由观测器构成的状态反馈闭环系统，其闭环极点等于原系统直接状态反馈闭环极点与观测器的极点之总和，并且两者都是相互独立的，这给系统设计带来很大的方便。因此，只要受控系统是能控且能观的，则系统的状态反馈阵K和观测器的反馈阵G可分别根据各自的要求，独立进行配置。,2、传递矩阵的不变性,带观测器的状态反馈系统的传递矩阵为,带状态观测器的状态
15、反馈闭环系统的传递矩阵等于直接状态反馈闭环系统的传递矩阵。两者的外部特性完全相同，而与是否采用观测器无关。因此，观测器渐近给出 并不影响闭环系统的外部特性。,3、两类系统的等效性,通过选择 阵，可使 的特征值均具有负实部，所以必有。因此，当 时，必有,这表明，带观测器的状态反馈系统，只有当，即进入稳态时，才会与直接状态反馈系统完全等价。但可以通过选择 阵来加快 渐近于 的速度。,成立,例：已知被控对象的传递函数为,若状态不能直接测量到，试采用状态观测器实现状态反馈控制，要求闭环系统的阻尼比，无阻尼自然振荡角频率。,解：（1）写出其状态空间表达式,（2）根据分离特性，先设计状态反馈阵K。由 可得闭环期望特征值为,则期望的特征多项式为,设状态反馈阵，则：,比较可得：,（3）设计状态观测器的反馈增益阵。使状态观测器的响应速度稍快于系统响应，取状态观测器的特征值为。期望的特征多项式为,设观测器反馈阵，则,比较可得：,（4）状态观测器的方程为,状态反馈控制律为,闭环系统的结构图如下：,
