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1、第一章 概述一.系统：由两个及两个以上要素组成，它们相互独立 又相互作用与联系，构成能完成特定功能的完整有 机体。从系统的定义可知系统具有以下四个基本特征：1.集合性 各要素所构成的具有特定功能的集合体。（根据逻辑统一性要求来构成）各要素不完善也可能构成良好功能的系统，要素良好也可能作为整体却不具有某种良好的功能。（例如球队组成）2.相关性 系统内各要素既相互作用又相互联系，构成有机整体。3.目的性 系统特别是人造系统都具有目的性，要达到规定的目的，系统都具有一定的功能，目前一些尚不能控制和改造的自然系统不属于此。4.环境适应性(自身调节）任何一个系统都存在于一定的物质环境中，必须适应外部环境
2、（信息、物质、气象等等）的变化。,二.系统分析与系统模拟 1.系统分析 它研究系统中各要素的具体性质，解决系统要素的 具体问题之外（分解），还着重研究和揭示各个要 素的有机联系，特别是研究如何使得系统中各个要 素的关系协调融洽，达到系统总目标最优的目的。（综合）2系统分析过程 系统分解-系统综合-运用系统工程方法求解,举一个浅近的例子：一个人，只有一个炉子，准备一顿饭菜。目标是耗费 时间最少。系统分解，初估各单项任务所需时间 如：淘米 洗菜 切菜 烧水 烧饭 炒菜 5分钟 6分钟 5分钟 7分钟 12分钟 7分钟 系统综合：找出各部分的相互联系及制约 如：先后次序的限制；工作转换的间隙；人手的
3、 忙闲；炉子的忙闲等。,运用系统工程方法求解：（作图法）只需26分钟完成全部工作，若6件事连着做，则需42分钟，未增加劳动强度及先进设备就节省38%的时间。,更重要的是，系统分析的结果还揭示提高效率的关键所在，这方面的意义远远超过前者。通过上面系统分析，可提出进一步缩短总时间的可能性，如：烧水和淘米要同步加快，洗菜、切菜要和烧饭同步加快，炒菜可单独加快，以免盲目加快无效果，如：单纯地提高洗菜速度就不能节省总时间，仍需26分钟。环境系统问题也与此类同，只是由于条件、任务、目标不同，对某一治理单元设备盲目要求高的处理指标未必能改善环境效益，也许是徒劳。对于标准的制定也同样有系统问题。系统分析的过程
4、是对系统的分解和综合，系统分解和综合的过程都要建立和运用数学模型，定量分析是必要的。,例2 环境中的系统工程决策问题，如污水处理厂的选址,城镇,污水厂,河,3、环境系统工程的思路结构,环境系统分析=环境科学+系统分析方法学（1）数据的收集-污染源数据、浓度数据、水文数据气象数据、社会经济数据（2）系统与过程的模型化-用数学模型描述系统的过 程及其相互关系（3）系统模拟-验证模型再现真实情况的程度，使模拟的结果与试验监测数据相符（4）方案优化-根据建立的数学模型或定量关系对系统中各种可能的状态，进行预测，提出方案，并采用适当优化的方法对方案进行评价决策。,(5)系统评价，主要包括：系统的功能（所
5、起作用与所应完成的任务）系统的费用（寻求低费用）系统的可靠性（系统的各层次和组成部分，在预定期限和正常条件下，运行成功的概率）。系统实现的时间（建立一个系统所需的时间）系统的可维护性（长期运行过程中应便于维护管理）系统的外部影响（对诸如生态平衡影响、资源和能源消耗等）(6)设计实施：根据最优化结果进行实施控制，包括建立具体实施方案和具体实施行动。,数学模型是主要工具主要参考书目：（1）美列奇著环境系统工程，水利出版社，1981（2）日高松武一郎，内藤正明 美林三方合著环境系统工程，中国环境科学出版社，1985。（3）付国伟、程声通主编，水污染控制系统规划，清华大学出版社，1985。（4）程声通
6、等编，环境系统分析，高等教育出版社，1990。（5）孟繁坚，杨汝均编，环境系统工程导论，烃加工出版社1987年。（6）韦鹤平，编著，环境系统工程，同济大学出版社，1993.4。,第二章,数学模型概述1 模型定义、分类、建立一、基本概念：1、原型：客观事物本身，其状态(由许多 状态参数决定)在不断变化之中。2、模型：用少数(主要)状态参数描述、模 拟客观事物状态变化的工具。（数学 模型，物理模型）,二、模型分类：（一）模型分类（1）物理模型：用物体本身或者按比例放大或缩小的实物做实验,模拟客观事物(原型)状态变化。（遵循相同的物理、化学变化规律）如：太阳系九大行星运行（对应万有引力公式），葛洲坝
7、室内比例缩小模型；（2）数学模型：用一系列图表、数学公式通过计算描述客观事故(原型)主要状态的变化。数学公式可以是统计的统计模型，可以是描述物理(化学)运动的机理模型。y=f(x1,x2,x3,)（3）文字模型：如技术报告、说明书等（在物理、数学模型度很难建立时使用）,（二）数学模型分类（1）按认识程度分：A）黑箱模型：因果关系不明，只有输入、输出统计关系；仅在一定区间内基本正确；例：污水处理厂提供的3月日常监测台帐如下表所示，试根据3月份的数据建立其出水COD对应入水COD的数学模型。设：入水COD量为输入 x 出水COD量为输出 y方程为：Y=0.137X+43.257,黑箱,输入,输出,
8、表,3月 4月,B）白箱模型：因果关系十分清楚，物理、化学运动机理(参数)完全掌握；可精确描述事物运动状态的全部变化，又称机理模型 如：工厂投入确定数量人力、资金、原材料-各种加工程 序-确定数量的产品 或：（作用力）F=ma（加速度）C）灰箱模型：复杂问题，主要因果关系清楚，但许多机理细节(参数)不明，可描述事物运动状态的大致变化，与实际情况有一定误差，又称半机理模型。(摩擦力）f=a（摩擦系数）*N（正压力）模型参数：,参数,（2）白箱、灰箱数学模型的细分（重要）A）动态模型：含时间变化项S=f(t,X,Y,Z)；例:1.(距离)s=(速度)v*(时间)t 2.稳态模型：不含时间变化项S=
9、f(X,Y,Z)；例：万有引力公式：F=G*m1*m2/R*R B）线性模型：函数、自变量都是一次项；y=ax1+bx2+cx3+k 非线性模型：函数、自变量中有二次项及二次以上的项与超 越函数；y=ax2+bx+c y=aex1+bx2+cx3 超越函数:自变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方 运算表示的函数。,C）常系数(参数)模型：不随时间、空间变化；f=k*N(k 摩擦系数）变系数(参数)模型：随时间、空间变化；中的Ex为湍流扩散系数D）空间0维Y=f(t)、一维S=f(t,X)、二维 S=f(t,X,Y)、三维S=f(t,X,Y,Z)；解为：问题：下列模型分别是什么模
10、型？,E）解析模型：用解析公式表达表达微分方程 的解；数值模型：用计算值表达微分方程的解。,三、数学模型的优点：成本低，周期短，自由度大；缺点：参数不明情况下误差大。参数的确定常要用到物理模型和现场实验方法(费用大)。四、模型建立：基本要求：1）理论(有关概念及其应用)正确；输入数据可靠；2）形式简单、实用 3）有足够的精确度；4）含可控变量，适用性强。,环境建模过程：1）有关数据收集：水文、气象、污染、污染 源、经济；通过数据分析确定问题的性质、涉及的领域，需要那些变量，变量之间的关 系。2）模型结构选择：选择白、黑、灰箱模型；（物 理、化学、生物过程），确定模型具体形 式；模型性质确定：动
11、态、稳态、几维运动 等问题；3）模型参数确定：实验数据收集，最小距离法 估算(最小二乘法）（例2-1）4）模型检验与修正,例1.下表是十二胺在水中的降解数据时间（h)0 1 3 5 7 9 23 27浓度(mg/l)2.3 2.22 1.92 1.6 1.52 1.07 0.73 0.5 1步：取得调查或试验数据 2步：确定模型结构 3步：确定输出输入关系配线过程,常用线型：,Y=lnx,Y=ax2,Y=ae-bx,Y=ax-1,符合Y=A*e-bx关系 因此确定函数：C=C0 e-k t（2-1式）4步：求C0及参数、k：求C0：t=0,C0=C(0)；2.30 求k：对C=C0 e-k t
12、 求对数，得：lnC=lnC0 kt 令：lnC=Y，lnC0=Y0得：Y=Y0 kt。(直线关系）问题：能否通过直接将某点C值带入2-1式，求得k吗？（作业）,Y0即一维线性回归线的截距，k为斜率。可用最小 二乘法、图解法求。（作业）5步(模型检验):C*=2.30 e-0.0519 t，代入t，得C*(t)与C(t)比较误差分析(作业）预习：概率统计最小二乘法，回归方程等内容,2 数学模型的参数估值、误差分析、一、模型参数的估值方法 模型参数：由于人们对研究对象某方面的认识不够深入，出于模型 量化的需要，可用一些经验系数来代表这些量，模型中 含有的一个或多个经验系数，就叫模型参数，参数不能
13、 通过推导得出，需试验获得。例：f=k*N(k 摩擦系数）1、图解法（应用范围：函数关系为一元线性关系，或可通过 转化变成一元 线性关系）(1)已知函数关系式：y=mx+b,其中m,b为待定参数，有一组实 测数据：xi(i=1,2,3,)yi(i=1,2,3,),图：y=mx+b(2)有些非线性问题，可以线性化后，再使用图解法如：C=C0 e-k t两边取对数：lnC=ln C0-kt 令:y=lnc,b=ln C0 得：y=-kt+b2 一元线性回归法（最小二乘法）,*(x1,y1),*(x2,y2）,*(x3,y3),*(x4,y4),*(xn,yn),*,*,b,截距,设数学模型为y=b
14、+mX，X，y，用最小二乘法，求b,m y=b+mX 误差 di=yi-yi=yi-(b+mX)总误差 z=d12+d22+d32+dn2=z=f(b,m)b,m取值要求使总误差z最小，其必要条件为：,*,*（xi,yi),*,*,*,di,xi,yi实测值,*,yi为计算值,由此求得最佳m,b,例2：已知一组数据，适合线性方程y=mx+b,使用最小二乘法求参数m,b.x i 1 2 3 5 7 9 10 12 18yi 2.9 5 7.1 11.5 15.7 18.9 21.9 25.7 38.65,表2x i 1 2 3 5 7 9 10 12 18=67 yi 2.9 5 7.1 11.
15、5 15.7 18.9 21.9 25.7 38.65=147.35 Xi2 1 4 9 25 49 81 100 122 324=737 Xiyi 2.9 10 21.3 57.5 109.9 170.1 219 308.4 695.7=1594.8 作业：用最小二乘法求参数m,b答案：方程：Y=0.814+2.09x3.多元线性回归分析 方程形式：y=a+b1x1+b2x2（待求参数，a,b1,b2)采用最小二乘法得到：,a=y-b1x1 b2x2 y的平均值 x1的平均值 x2的平均值 其中涉及变量：Y.X1i.X2i,4.最优化方法简介（非线性关系）现有,需求参数:基本思路：利用最小二
16、乘法，有：逐点误差 di=yi-yi，（yi 为实测值，yi为方程值）总误差z=d12+d22+d32+dn2=求z为最小值时的例：通过一组实测的x,y值带入 z=得：z=(1-3)2+9(25）21步：任选一点（10 20）为（0，0）2步：求z在该点的梯度：,图,任选点,最低点,11,21,12 22,1n,2n,z,1,2,10 20,3步：由第一点，沿负梯度方向找第二点：步长4步：将上述坐标代入z函数，求步长 误差函数：z=(6-3)2+9(90-5)2 令：=0.0557 5步：重复上述2-4步，依次求得2，3，4n点，直到 z(1n+1,2n+1)-z(1n,2n)(足够小的值）。
17、,梯度法估计参数框图,设置参数初值,计算初始z0值,计算该点梯度,计算步长,计算新的参数,计算新的z值,输出参数,二 模型误差分析 1 图形表示法：y=2x y=1/2*y 观测值 y观测值y：y1,y2,y3 yN计算值Y：y1,y2,y3 yN,计算值y,*,*,*,*,*,*,*,*,2 相关系数法：求一组原型数据(观测值)、一组模型数据(计算值)二者之 间的相关。R 是处在-1和 1之间的数。其绝对值的数值越大，表示两者的相 关关系越好。3 相对误差法：绝对误差：Yi Yi(Yi为实测值，Yi为计算值）相对误差：ei=|Yi Yi|/Yi相对误差的统计规律（分布）：,误差的累积频率曲线
18、,),1,(,),(,6745,.,0,2,5,.,0,-,-,=,n,Yi,Y,Yi,e,i,i,i,2,2,),(,),(,),(,),(,1,.,),(,j,j,j,j,j,j,j,j,y,x,Y,X,Y,X,n,Y,X,COV,R,Y,X,Y,X,s,s,-,-,-,-,=,=,中值误差,例3（以例2数据为根据）Y=0.814+2.09xx i 1 2 3 5 7 9 10 12 18yi 2.9 5 7.1 11.5 15.7 18.9 21.9 25.7 38.65Yi 2.9 4.99 7.08 11.26 15.44 19.62 21.71 25.89 38.43=0.012,
19、),1,(,),(,6745,.,0,2,5,.,0,-,-,=,n,Y,Y,Y,e,i,i,i,三 模型的灵敏度分析输入 模型 输出，当 输入+模型 输出+求“输入”的放大率:=/高灵敏度模型，“误差”放大，1；如：无线电信号放大器。中灵敏度模型，“误差”变化不大，1；经济仿真模型，弹导模型。低灵敏度模型，“误差”缩小，1。如：环境模型。例如有一模型为：y=a+b1x1+b2x2，输入误差来自：a,b1,b2,x1,x2的取值误差，造成计算值y的误差。灵敏度即为：，。,1,2,2,1,3.EXCEL在模型建立中的应用例3-1 线性回归模型：某污水处理厂提供的3、4月份的日常监测台帐如下表所示
20、，试根据3月份的数据建立其出水COD对应入水COD的线性回归模型，然后用 4月份的数据进行验证。,解:第1步：首先建立Excel的工作表，输入污水处理厂监测的原始数据。在2.2 中已介绍了Microsoft Excel的“分析工具库”。线性回归也是属于该工具库的内容。在“工具”菜单中，单击“数据分析”命令。如果“数据分析”命令没有出现在“工具”菜单中，则需要通过加载宏安装“分析工具库”，与此同时也将“规划求解”安装备用。第2步：在“工具”菜单中，单击“数据分析”命令，选择线性回归操作。按照对话框要求在Y 值输入区域输入对因变量数据区域的引用，该区域必须由单列数据组成。这里选择输入3月份的出水C
21、OD的数据区域；在 X 值输入区域输入对应入水COD数据。回归统计的一些主要结果：Multiple R 0.630237 Intercept 43.25682 X Variable 1 0.136996 标准误差 26.22009 观测值 24,方程为：Y=0.137X+43.257第3步：线性相关的相关系数检验 下表给出了在两种显著性水平a=0.05 及a=0.01下的相关系数的显著性检验表，表中的数值是相关系数的临界值。如果用来检验的观测数据有 n 个，先由观测值计算出相关系数R，于是就有如下结论：(1)如果|R|R0.05(n-2)，则认为y与 x两者的相关关系不显著，或者说 y与 x之
22、间不存在相关关系。(2)如果 R0.05(n-2)R0.01(n-2)，则认为y与 x两者的相关关系高度显著。,相关系数显著性检验表,结论：相关系数 R=0.63，观测值24个。查阅相关关系检验表，R0.01(22)=0.515；由于这里|R|R0.01(n-2)，说明3月份数据的出水COD与入水COD两者之间，存在高度显著的线性相关关系第4步：运用方程预测4月出水COD例3-2：使用excel进行模型结构分析和曲线拟合。（根据前例中的数据）下表是十二胺在水中的降解数据时间（h)0 1 3 5 7 9 23 27浓度(mg/l)2.3 2.22 1.92 1.6 1.52 1.07 0.73
23、0.5,解：第一步：在excel 先做出散点或折线图第二步：点击图表曲线或点，添加趋势线在趋势线命令中分别选择模型结构形式为线性和指数模型，拟合结果如图2-8所示。指数模型又分别指定和不指定是否必须通过初始浓度2.3 mg/L。注意在图2-7中有个选项页，如果需要在图中显示出模型的表达式、R2，或者需要限制趋势线必须通过初始浓度标记的函数点，均在选项页进行操作。,名称 趋势线计算方程 备注线性 y=mx+b m 代表斜率 b 代表截距对数 y=clnx+b c 和 b 代表常数，函数 ln 代表自然对数多项式 y=b+c1x+c2x2+c5x5 可选择多项式阶数，b 和Ci 代表常数乘幂 y=
24、cxb 其中 c 的 b 为常数指数 y=cebx c 和 b 为常数，e 代表自然对数的底数例3-3.例2-5 已知河流平均流速为4.0kmh，饱和溶解氧(DO)为lO.OmgL，河流起点的BOD(L0)浓度为20mgL，沿程的溶解氧(DO)的测定数据如下:试根据河流溶解氧的变化规律，确定耗氧速度常数Kd和复氧速度常数Ka。已知数学模型为：,),(,),(,0,0,x,d,x,a,x,a,u,x,k,u,x,k,d,a,d,u,x,k,s,s,e,e,k,k,L,k,e,DO,c,c,c,-,-,-,-,-,+,-,-,=,10,10,溶氧,10,解：首先建立如图2-9所示Excel的工作表
25、。根据2-19式，（1）在b6-B10单元格内输入符合Excel定义的溶解氧计算公式：=B1+B3*F3/F4*(EXP(F2*(A6:A10)/B2*(-1)-EXP(-1)*F3*(A6:A10)/B2)（2）在D11单元格，是用函数形式表示的计算值与观测值间的误差的平方和。在F2、F3单,(3)在F2、F3单元格内设置由经验给定的参数 Kd 和 Ka 的初值分别相当于 2（1/d）和 1（1/d），(4)在“工具”菜单中，单击“规划求解”命令，按照对话框要求输入变化的参数区域 F2、F3和目标函数的区域D11单元格,要求的目标是使计算值与观测值间误差的平方和达到最小。(5)公式输入时，如
26、想是某个单元格的值在拖动中不变，需加$号，如$a$3,总结：,观测数据1,模型结构选择,参数估计,检验和验证,模型应用,观测数据2,第三章 环境质量基本模型1 污染物在环境介质中的运动一、基本概念1、环境介质：能帮助传递物质、能量的物质，传递过程中物质与能量有可能有耗散。三大类介质：流体(又可分为液体与气体)，固体，混合体(如土壤)。2、运动:事物状态的变化(广义)。物质状态的变化(位置、速度、密度、形态、质量、温度、带电量、组成成分)的变化。如：机械运动、物理运动、化学运动、生物运动、政治运动。3、污染物：对环境生态系统(特别是人体健康)有不良影响的物质、能量，一般为过量的有害物质，物质质量
27、相对于介质质量则是微量的。,二、污染物在介质中各种运动（重要概念）1、推流迁移运动：污染物迁移量(质量通量)：（单位：物质量/单位时间*单位面积，如g/m2s）X轴方向：fx=uxC=Y轴方向：fy=uyC，Z轴方向：fz=uzC。,S,L,ux,Q,t,x,z,y,uy,这段河道中的总水量,2 扩散(稀释)运动：物质质量在空间分散化、均匀化，使物质浓度随时间不断变小。物质浓度总从高处向低处扩散。1）分子扩散：由于分子随机运动引起的扩散溶解，其速度与“热”有关。浓度梯度：在某个方向上的浓度变化率 Fick第一定律（通量）X上某点浓度梯度单位：物质量/单位时间*单位面积Em为分子扩散系数，且各向
28、同性；2)湍流扩散：由于流体的湍流运动造成污染团内部质点强烈的随机运动撕裂 Fick第一定律（通量）：,*,*,x,c=c2-c1,x,c1,c2,x,y,z,I1X,I1Z,I1Y,单位：物质量/单位时间*单位面积Ex,Ey,Ez 为x,y,z 三个方向的湍流扩散系数，各向异性，一般x,y 方向的扩散系数大于z 方向的扩散系数。为对时间求平均的平均浓度。3)弥散扩散：由于介质宏观运动(流速)分布不均匀，造成流体形变引起的扩散。为断面平均值,单位：物质量/单位时间*单位面积,*,*,c1,c2,须考虑,须考虑,3 裒减、转化运动：由于生物或化学的作用，由一种物质变化为另一种物质，对原物质是裒减
29、了，而对于新生物质而言则是增生了。以上数学模型是一阶一次常系数微分方程。描述的是某物质“浓度”变化速率，是该物质“浓度”本身的常系数一次函数，又称一级动力学模型。当 物质量为增生时：c2 c1时，当 物质量为衰减时：c1 c2时,衰减速度常数,单位时间、单位体积内的物质增量,*,*,t,t2,t1,c1,c2,浓度变化速度,4（综合三种作用）的图像理解只有推流迁移 推流迁移+扩散 推流迁移+扩散+裒减 推流迁移+裒减无推流迁移 无推流迁移 仅有扩散 有扩散+裒减,2 基本模型的推导 1.质量守恒原理初始存量为：存量1，一段时间后：存量2对于输入端：物质总量=存量1+进入量（1）对于输出端：物质
30、总量=存量2+出去量（2）存量1+进入量=存量2+出去量 存量2-存量1=进入量-出去量存量的变化量（增量）=进入量-出去量,存量,进入量,出去量,2.零维模型推导(完全混合）（重要）在 t1 t2的 t时段内浓度 c1 c2 c=c2-c1物质量 vc1 vc2 m=v(c2-c1)=v c单位时间的物质变化量：,kV,Q,C0,S,Q,C,根据质量平衡原理,单位时间的物质变化量也可表示为 Q*c0+S-(kc)*v-QC所以：,m3/s,mg/m3,mg/s,mg/s*m3,m3,进入量,出去量,衰减项,一维模型推导（了解）推流：fx=uxC 扩散：立方体体积:迎水面面积：,x,s,t1
31、t2c1 c2,在x方向上立方体内污染物在t1 t2时段内的变化量：在单位时间内的变化量：单位时间内，流经端面的物质总量应为物质通量与面积的乘积，故单位时间内输入量为:(设任意点推流通量函数为f(x),扩散通量I(x)f(x)=uxC,x0,X0+x,k,I1(扩散）,I2（扩散）,x,I=I2-I1 f=f2-f1,f1（推流）,f2,综合上述两种情况；,根据泰勒公式，可将任意函数f(x)在某点x=x0处用级数展开：将推流函数f(x)在x=x0展开：所以在x=x0+x处：因为微元很小,x也很小，可将所有含大于2阶得导数项省略，得：将扩散函数I(x)在x=x0展开:,所以在x=x0+x处，将所
32、有含大于2阶得导数项省略，得：单位时间输入量：断面面积单位时间输出量：t时间，该体积元的物质变化量为（2）-（3）,z,y,x,C,E,C,u,z,y,I,f,x,x,x,x,D,D,-,=,D,D,+,),(,z,y,x,x,C,E,x,x,C,E,x,C,u,x,C,u,x,x,x,x,D,D,D,-,+,-,D,+,),(,),(,（2）,（3）,推流增量,扩散增量,约去相同项：当ux,Ex,为常数时，如果考虑衰减作用：体积元内污染物按一级反应式衰减,衰减量为,-,单位时间单位体积内的衰减量,单位时间浓度变化,推流增量,扩散增量,衰减变化量(源汇项）,局地项,推流项,扩散项,衰减项,二维
33、模型推导 与一维基本模型的推导相似，当在 x 方向和 y 方向存在浓度梯度时，可建立起二维基本模型 Y方向扩散项 Y方向推流项 式中，Ey y 坐标方向的弥散系数；uy y方向的流速分量；三维模型推导 如果在x、y、z 三个方向上都存在浓度梯度，可以用类似方法推导出三维基本模型：式中，Ex、Ey、Ez x、y、z 坐标方向的湍流扩散系数；uz z方向的流速分量。,KC,y,C,u,x,C,u,y,C,E,x,C,E,t,C,y,x,y,x,-,-,-,+,=,2,2,2,2,模型使用范围（重要）零维模型：（假定内部无浓度梯度，浓度均匀化）-适合于箱体，湖泊环境一维模型（在一个方向上有浓度梯度变
34、化）-适合于细、长、浅河流环境二维模型（在二个方向上有浓度梯度变化）-适合于宽、长、浅大型河流，河口、海湾、浅湖三维模型（在三个方向上有浓度梯度变化）-适合于宽、长、深环境，如大气、海洋、深湖,3 数值解与解析解一、概述由于环境问题涉及因素复杂(一些模式参数常是变数)，数学上能求得解析解的微分方程(又称控制方程)又不多，常需把问题简化(对运动作约束)后才能求得解析解，因此解析解的使用条件很严，不能乱用。控制方程简化过程中涉及的数学分析问题有：二 解析解求解1.化简控制方程（重要）1）物质运动性质分析，常涉及微分方程(控制方程)的阶数。平流问题，控制方程是一阶微分方程：扩散问题，控制方程是二阶微
35、分方程：,2）物质运动在几维空间内进行，含几个空间变量。在一维空间内运动，只含一个空间变量：即 在二维空间内运动，含二个空间变量：在三维空间内运动，含三个空间变量：3）运动是否随时间而变化，方程含不含时间t这个变 量。对于瞬时排放，污染物浓度随时间而变化,对于稳定排放，浓度不随时间变化 4）运动中是否质量、能量守恒的分析，常涉及是否存在“外力”作用，控制方程中有否强迫项(源、汇)。无源、汇项存在，守恒物质方程：非守恒物质，有源、汇存在，方程非齐次 2.模型解析解(重要）解析解：通解：定解：定解条件（初、边值条件）：,源汇项,例题：求 的通解、定解(了解）代入初边值条件求积分常数：x=0时，c=
36、c0,积分常数,通解：,积分常数,c,c,1）瞬时排放的解析解（浓度随时间变化）(1)一维流场、无弥散、有推流、有裒减，（重要）（推流作用扩散作用）控制方程为：根据条件化简上面方程得：解：图像表示,t=0 t=1 t=2,X=ut,初始条件：t=0时,c=C0，则其浓度为:x=u t 污染物正好到达：=0 当x u t 污染物已过或未到显然只有x=ut处有污染物。(2)一维流场，有弥散、有推流、有裒减，（弥散、推流、裒减作用相当）控制方程为：（重要）求得通解，代入以下初边值条件初值：t=0,c=c0;边值：x=0，c=c0；x=，c=0,污染源坐标,0,x0,D,复习随机变量的正态分布函数随着
37、时间的t的变化有：水团长度,x,a,ut,x,c,例题 3-1瞬时向河流中投放示踪剂，含若丹明染料5kg,在起始断面处充分缓和，假定河流平均宽度10m，平均水深0.5m,平均流速0.5m/s,纵向弥散系数为0.5m2/s,试求距投放点500m处的若丹明浓度分布的时间过程线。假定断面面积为矩形，则面积A宽深10*0.5=5m2,u=0.5 m/s,D=0.5m2/s,M=5kg=5*106mgT(min)10 12.C(mg/l)5*10-14 1.8*10-5.,c,t,图像：(4)二维流场，有推流、扩散、裒减，控制方程为其解为:,t,X方向分布,y方向分布,点,（0，0）,，t）,图形：,u
38、t,x,c,c,y,c,y,x,uyt,x,y,(3)三维流场，有推流、扩散、裒减，控制方程为：控制方程：其解为：当污染源坐标（x0,y0,z0)位于三维坐标的原点（0，0，0）时，有：,令上式=复习：,X方向分布,Y方向分布,Z方向分布,C,X,ut,C,y,vt,C,z,wt,2）稳定排放的解析解 稳定排放定义：排放强度变化很小(变化率在10%以内)；排放时间长(T X/u)。稳定排放问题没有初值，只有边值。(1)0维(箱模式)：有一股流量为Q的污水，流经容积为V的水箱，污水流入水箱后与箱内水体充分混合，并与箱内微生物反应、造成污染物以k的速率裒减控制方程：解析解当t无穷大时：,K,v,c
39、,Q,C0,Q,C,当t足够长时，解为：(2)一维稳态、无弥散、推流、裒减模式：设置控制方程，此时已不是扩散问题，而是推流问题。控制方程为:边值条件为:x=0处C=C0 求解过程：,得：代入边值条件：问题：在什么情况下，可以忽略扩散的影响？由于一般河流中|u|Dx|，所以考虑不考虑弥散并不重要复习常微分方程解法,变量,x,c,积分常数,（3）一维稳态、有弥散、推流、裒减模式，控制方程为：代入边值：x=0,C=C0,x=,C=0。可以推断解析解形式：C=f(x)导数形式而当解析解为：c=f(x,y,z,)导数形式：控制方程变为：课后作业：1 求上述常微分方程的定解 2 说明一维稳态方程与动态方程
40、的区别,其特征方程为：Dx2-u-k=0 由此求出特征根：其通解为：代入边值：x=0,C=C0,x=,C=0。得A=0，B=C0，故解为(6)二维稳态、有弥散、推流、裒减模式二维河道中可以忽略X方向的扩散 Dx,y方向的推流作用，,化简：,c,x,e-kt,重要,此控制方程(排放口在坐标原点：x=0,y=0)求解较复杂，其解为:,y方向的分布,x,y,二维问题实际应用中的复杂性(1)污染源在河中（重要）A河道无界(湖泊、海湾）B.河道有界：1 污染源在河中,x,y,B,*(x,y),x,y,B,*(x,y),B/2,B/2-y,B/2,*,N=1,N=1,N=2,实源,虚源,虚源,x,加和后总
41、浓度：(2)污染源在河边(重要）A.河道无界总浓度,*(x,y),实源虚源,x,y,B.河道有界总和为：,*(x,y),B-y,y,X,B,B,2B-y,N=0,1,N=2，3,N=1,2,2B,y,2B+y,实源,虚源,虚源,(7)三维模式：大气环境中高烟囱稳定排放，其控制方程为 其解为：,例题:狭长河流中稳定排放污水，污水量q=0.15mg/m3,BOD=30mg/m3,流量Q=5.5m3/s,平均流速为0.3m/s,河道BOD本底浓度为0.5mg/m3,BOD的衰减速度常数K=0.2d-1,弥散系数D=10 m2/s,求下游10km处的BOD浓度。,Q,q,c0,10km,连续点源排放，
42、源强为50g/s,河流水深h=1.5m,ux=0.3m/s,横向弥散系数DY=5m2/s,污染物衰减速度常数为0，求（1）无边界情况，（2000，10）坐标处的浓度（2）边界排放，宽度无限大，该处的污染物浓度（3）边界排放，宽度B=100M时，该处的污染物浓度,三.污染物在均匀流场中的分布特征（复习）（1）一维流场中的分布特征（动态）控制方程为 解上式变为：上式也可变为令：,c,x,常数,ut,c,t,x/u,常数,扩展知识,x/u,（2）一维流场中的分布特征（稳态）控制方程为 解（3）二维流场中的污染物分布特征（动态见前）稳态：,x,c,解：问题1：污染物到达对岸(或地面)所需的距离：污染物
43、到达河边：岸边浓度达到平均浓度的5%距排放口距离x(m)的污染物平均浓度为：排放口在河中，任意点浓度（带反射）：,排放口,到达岸边,完全混合,x,y,B,根据定义：排放口在岸边：问题2；污染物完全混合所需的距离污染物完全混合：断面任意一点浓度达到平均浓度的95%。河中排放 岸边排放 作业：p54(1)(2),模型数值解,一阶导数：偏导数概念二阶导数：,根据泰勒公式，可将任意函数y(x)在某点x=a处用级数展开：所以在x=a+h处,(h=x-a)所以在x=a-h处：因为h很小，可将所有含大于2阶得导数项省略，（1）+（2）得：将,a,h,h,（1）,（2）,综上二阶导数可变为：,t,x,x,t,
44、j+1,i,cji,j,i+1,j-1,i-1,Cji-1,i-2,Cj+1i,Cji-2,1,对于i=1，对于i=2。对于i=i,Cj+1,Cj,A,初始条件C(xi,0)=ci0边界条件C(0,ti)=c0j,第四章 内陆水体水质模型1 水体污染类型（1）有机耗氧性污染 生活污水和一部分工业废水中含有大量的碳水化合物、蛋白质、脂 肪和木质素等有机物。COD:BOD（CBOD,NBOD)：（2）化学毒物污染 大体可分为四类：a 非金属无机毒物(F、S等)，b重金属与类金属无机毒物(Hg、Cd、Cr、Pb、Mn等)，c易分解有机毒物(挥发酚、醛、苯等)，d难分解有机毒物(DDT、六六六，、多氯
45、联苯、多环芳烃、芳 香胺等)。,(3)石油污染(4)放射性污染(5)富营养化污染(6)致病性微生物污染2 污染物在水体中主要的过程（1）物理过程：污染物在水体的稀释、混合、扩散、沉积、冲刷、再悬浮等作用。稀释、混合：,Q,C1,q,C2,断面1,混合后,(2)扩散作用（略）（3）沉降作用,由于沉降作用造成的单位时间单位体积内的污染物减少量,沉降速度常数,(4)化学生物化学过程 a 污染物衰减过程(BOD)一级反应动力学方程：式中kC为实验室内降解速度常数 初值：t=0时，L=L0，解析解：kC随温度的变化而变，是温度T的函数=1.047（T=1035）。衰减速度常数的求解：实验室内的衰减速度常
46、数kC 河道内实际的衰减速度常数kr kC在实验室中，根据二个时间（t2、t1）的L值（L2、L1），便可估算,河道内kr估算：理论估算H为河流平均平均深度，u为河流平均流速，为河床活度系数，由河床坡度决定 Ks为沉降速度常数实测数据估算此方法忽略了扩散作用，可行吗？,A,B,XA,XB,L0,u,b.大气复氧过程有机污染物的耗氧作用：大气对水体的复氧作用：溶解氧(DO),BOD,COD饱和溶解氧（CS）：在标准大气压力、淡水中，饱和溶解氧的浓度为：有机污染物的耗氧作用：t1 t2 t=t2-t1 DO1 DO2 DO=DO2-DO1 L1 L2 L=L2-L1耗氧速率：?（以需氧量表示的污染
47、物量 L表示一定的污染物的损耗量，消耗了多少融氧表示的）,大气向水中复氧的控制方程 V为水体体积，A为河面表面积，A/V=1/H，H为平均水深。氧亏概念：溶解氧亏不足量 D=DOS-DO 取微分：dD=-dDO 带入上面方程得：Ka的求法：C、n、m的取值见P.57上的表4-3 温度以200C为基准，则：，=1.024。,大气复氧速度常数,单位时间、单位体积内的复氧量,C.光合作用对于时间平均模型，产氧速度可取一天中的平均值P(设为常数)，设任意一天的光合作用放氧量为p,有（单位：/d)d 藻类呼吸作用呼吸作用是耗氧过程。通常把藻类呼吸耗氧作为R处理：（单位：/d)光合作用和呼吸作用的产氧、耗
48、氧速度，可用白瓶、黑瓶试验求得：1）先求得L0 与KC，并计算得KC L0；2）测得黑瓶中的溶解氧变化值，即可求出R：3)再测得白瓶中的溶解氧变化值，即可求得P：时间单位：/d,3。河流水质模型（1）河流水质模型使用概述（2）一维河流水质模型 a 单一河段水质模型（只有一个排放口）S-P模型（Streeter-phelps)1925年建立，用于描述河流中的BOD与DO的复合变化规律。其基本假设（1）是河流中的BOD裒减和DO恢复都是一级反应，（2）河流中的耗氧由BOD衰减引起，且DO的来源只有大气复氧。,u1 Q1,u2 Q2,此时的控制方程（流速作用扩散作用）令有机物浓度、溶氧浓度分别为L,
49、DO,上式分别为：,有机耗氧,大气复氧,解为：,其中D0为初始氧亏值，D0=DOS-DO0,单位时间、单位体积内的融氧变化量,单位时间、单位体积内的复氧量,单位时间、单位体积内的耗氧量,将氧亏用溶氧表示：浓度分布：BOD:DO:,L,t,DOS,D0,DC,（水质最差点）xc=u*tc,复氧曲线,氧垂曲线,耗氧曲线,DO,x,DOC,DO0,求水质最差点的位置及溶氧：S-P模型的修正型1）托马斯模型：在S-P模型基础上引入对BOD有去除作用的沉淀过程：,解：,临界点发生时间：,2）康布模型：在S-P模型基础上增加了底泥释放BOD贡献和河流中水生植物光合作用产氧。增加了二个强迫项B、P。,底泥释
50、放BOD的速度,光合作用产氧速度,解为：,3）欧康奈尔模型：在（含碳有机物CBOD）托马斯模型基础上引进含氮有机物(NBOD)对水质的影响。：,解为：,某河段流量为216*104m3/s,流速是46km/d,诗、水温13.6度，kd=0.94d-1ka=1.82d-1,ks=-0.17d-1河段始端废水排放量10*104m3/d,BOD500 mg/l,DO为0，上游河水BOD为0，DO8.95mg/l，求和段6公里处河水的BOD和氧亏,河段长16km，枯水流量为60m3/s,u=0.3m/s,kd=0.25d-1,ks=0.1d-1,ka=0.4d-1,水流稳定，光合作用呼吸作用不发达，如果
