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1、2023年9月13日,1,第6章 动能定理,2023年9月13日,2,力的功与物体的动能,质点系动能定理,动力学普遍定理的综合应用,碰撞,2023年9月13日,3,动量定理和动量矩定理是用矢量法研究动力学问题，而动能定理则是用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了物体的机械运动量动能与力的机械作用量功之间的联系，这是一种能量传递的规律。,2023年9月13日,4,6.1 力的功与物体的动能,1.功的定义和一般表达式,常力在直线位移中的功,变力在曲线位移中的功,一、力的功,又称力的元功,累积量，代数量，单位：Nm=k
2、gm2/s2,2023年9月13日,5,合力的功,又称力的全功,2023年9月13日,6,一对内力的功,2.质点系内力的功,可见：当两点距离变化时，内力功不为零，变形体的内力功不为零，而刚体的内力功为零.,2023年9月13日,7,内力作功的实例:发动机内力作正功，汽车加速行驶；机器中内摩擦作负功；人骑自行车,内力作功；弹性体中,外力使弹性体变形，内力作负功.,2023年9月13日,8,3.几种常见力的功,质点重力的功,质点系重力的功,此二式说明：重力的功与质点或质点系的轨迹路径无关，具有这种性质的力称为有势力或保守力。,2023年9月13日,9,弹性力的功,弹性力也是有势力或保守力,万有引力
3、的功,万有引力也是有势力或保守力,2023年9月13日,10,例1 重W的套筒在光滑圆环上滑动。设弹簧原长为R。求:当套筒从A运动到B时，弹簧力所作的功以及重力所作的功。,解：,2023年9月13日,11,4.外力对平面运动刚体的功,可得:,2023年9月13日,12,思考：均质轮滚动S后静止求各力的功。,FR=F=常数,2023年9月13日,13,计算滑轮顺时旋转一周外力所作的总功,2023年9月13日,14,外力对平面运动刚体的功率：,5 功率的概念,2023年9月13日,15,1.质点的动能,2.质点系的动能,二、物体的动能,瞬时量、算术量，单位：kgm2/s2,3.柯尼希定理,2023
4、年9月13日,16,（2）定轴转动刚体的动能,（1）平移刚体的动能,（3）平面运动刚体的动能,或,2023年9月13日,17,思考：质量为m的匀质杆,长为L，角速度为、杆在该瞬时的功能？,答：,2023年9月13日,18,例1 已知滑块A的质量为 m1，质点B的质量为m2,杆AB的长度为 l、不计质量，可以绕 A点转动。求:系统的动能。,2023年9月13日,19,例2 图示行星轮机构由节圆半径r，质量均为m的3个齿轮组成，系杆以匀角速度绕固定齿轮1的轴O转动时，带动齿轮2和齿轮3运动，设系杆对转动轴O的转动惯量为JO，试写出系统的动能。,解：,2023年9月13日,20,解：,设 AB=BC
5、=2CD=l,G,2023年9月13日,21,解：,设 AB=CD=L,2023年9月13日,22,6-2 质点系动能定理,1.微分式,2.积分式,对于理想约束，约束力的功为零（如光滑铰，光滑面）对于刚体系统,内力的功之和为零.,一.定理的一般形式,2023年9月13日,23,例1 试导出稳定流体的能量方程。已知:入口与出口处面积分别为A1、A2；流速v1、v2；外界压强p1、p2；质心高度h1、h2，体密度。,答：,2023年9月13日,24,例2 测试车辆从开始刹车到停止所滑过的距离。,解：车辆从开始刹车到停止作平移,2023年9月13日,25,例3 重150N的均质圆盘与重60N、长24
6、cm的均质杆AB 在B 处用铰链连接。系统由图示位置无初速地释放。求:系统经过最低位置B点时的速度。,答：,2023年9月13日,26,例4 航空母舰上的飞机降落止动装置为缆索装置。设缆索的张力在止动过程中是一常值，要求降落滑行距离为L，则缆索张力应为多少？,答：,2023年9月13日,27,例5 两匀质杆从图示静止位置开始运动，求:当BC杆接触地面时BC杆的角速度,答：,2023年9月13日,28,1.势力场和势能,力场若质点在某空间任意位置处，都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为力场。,例如：重力场、弹性力场、万有引力场。,势力场若物体在某力场运动，作用于物体上
7、的力所作的功只与力作用点的始末位置有关，而与点的运动轨迹无关，这种力场称为势力场。,二、定理的特殊形式机械能守恒定律,2023年9月13日,29,势能在势力场中，质点从点M运动到任选的点M0，有势力所作的功，称为质点在点M相对于点M0 的势能（具相对性）。,点M0的势能等于零，称为零势能点。即,2.常见的势能,(1)重力势能,2023年9月13日,30,(2)弹性势能,若取弹簧的自然位置为零势能点，则,(3)万有引力势能,若取无穷远处为零势能点,2023年9月13日,31,有势力的功与势能的关系：,W1-2=V1-V2,对于保守系统，有,机械能：系统的动能与势能的代数和E=T+V,3.机械能守
8、恒定律,2023年9月13日,32,例6 求木块由静止撞向墙头时的速度。,答：,木块作平移运动，取AD面为零势能面。,2023年9月13日,33,例7 求匀质杆从铅垂静止位置转动到水平位置时质心C的速度。已知弹簧原长3.9m，匀质杆质量2kg。,答：,杆作定轴转动，取x轴为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点。,2023年9月13日,34,6.3 碰撞,2023年9月13日,35,碰撞的特征和基本假定,用于碰撞过程的动力学定理,质点的碰撞,刚体的碰撞,撞击中心,2023年9月13日,36,在前面讨论的问题中，物体在力的作用下，运动速度都是连续地、逐渐地改变的。本章研究另一种力学现象:物体的运动
9、速度突然发生有限的改变。,碰撞：运动物体在突然受到冲击（包括突然受到约束或解除约束）时，其运动速度发生急剧变化的现象称为碰撞。,2023年9月13日,37,对接碰撞,2023年9月13日,38,2023年9月13日,39,2023年9月13日,40,2023年9月13日,41,？,这与碰撞有关系吗,2023年9月13日,42,？,这与碰撞有关系吗,2023年9月13日,43,请注意撞击物与被撞击物的特点！,2023年9月13日,44,请注意撞击物与被撞击物的特点！,2023年9月13日,45,2023年9月13日,46,？,击球手的手握在哪里所受的撞击力最小,2023年9月13日,47,？,请
10、注意该装置的功能，与碰撞有没有关系,2023年9月13日,48,一、碰撞的特征和基本假定,1.碰撞的特征：物体的运动速度或动量在极短的时间内发生极巨的改变。碰撞时间之短往往以千分之一秒甚至万分之一秒来度量。因此加速度非常大，作用力的数值也非常大。,碰撞力（瞬时力）：在碰撞过程中出现的数值很大的力称为碰撞力；由于其作用时间非常短促，所以也称为瞬时力。,2023年9月13日,49,设榔头重10N，以v1=6m/s的速度撞击铁块，碰撞时间=1/1000s,碰撞后榔头以v2=1.5m/s的速度回跳。求榔头打击铁块时力的平均值。,是榔头重量的765倍。,塑料,锤的平均加速度:,锤的平均打击力,2023年
11、9月13日,50,可见，即使是很小的物体，当运动速度变化很快时，瞬时力可以达到惊人的程度。有关资料介绍，一只重17.8N的飞鸟与运动着的飞机相撞，如果飞机速度是800km/h，碰撞力可高达3.56105N，即为鸟重的2104 倍！,不利因素：机械、仪器及其它物品由于碰撞而造成损坏等。有利方面：利用碰撞进行工作，如锻打金属，用锤打桩等。,2023年9月13日,51,近4年全国道路交通事故基本情况,2023年9月13日,52,1912年4月10日,号称永不沉没的超级巨轮“泰坦尼克号”由英国往纽约处女航,在大西洋洋面行驶时因与冰山发生碰撞而沉没,造成船上2235人中的1522人丧身.,1987年12
12、月20日,“多纳帕斯号”(设计载人:608人,经改装后可载人:1518人,实际载人:3000人),在往马尼拉方向行驶时因与油轮相撞而起火,造成船上3000人几乎丧身.,2023年9月13日,53,(1)在碰撞过程中，重力、弹性力等非碰撞力与碰撞力相比小得多，其作用可以忽略不计。但必须注意，在碰撞前和碰撞后，非碰撞力对物体运动状态的改变作用不可忽略。,(2)由于碰撞时间极短，而速度又是有限量，所以物体在碰撞过程的位移很小，可以忽略不计，即认为物体在碰撞开始时和碰撞结束时的位置相同。,2.研究碰撞的基本假设：,2023年9月13日,54,对心碰撞与偏心碰撞：碰撞时，两物体质心的连线与其接触点的公法
13、线重合，否则称为偏心碰撞。,3.碰撞 的分类,(1)分类1,2023年9月13日,55,对心正碰撞与对心斜碰撞：碰撞时，两物体质心的速度也都沿两质心连线方向则称对心正碰撞，否则称为对心斜碰撞。,2023年9月13日,56,(2)分类2,设两物体发生对心正碰撞，开始时质心的速度分别是v1,v2；末了时质心的速度分别是u1,u2，且设v1v2。,定义恢复系数：,2023年9月13日,57,恢复系数表示物体在碰撞后，速度恢复的程度。也就是变形恢复的程度，由于在碰撞中有动能的损失，因此e愈小损失的动能愈多。,部分弹性碰撞：变形不能完全恢复。,完全弹性碰撞：无能量损耗，变形可完全恢复；,完全塑性碰撞：能
14、量完全损耗，变形完全不能恢复。,e=0,e=1,0e1,2023年9月13日,58,二、用于碰撞过程的动力学定理,1.用于碰撞过程的动量定理,2.用于碰撞过程的冲量矩定理,2023年9月13日,59,用于定轴转动刚体碰撞时的微分方程积分形式,用于平面运动刚体碰撞时的微分方程积分形式,2023年9月13日,60,1.质点A对固定平面B的正碰撞,B,利用上式可用试验方法测定恢复系数。,三、质点的碰撞,2023年9月13日,61,恢复系数的测定,2023年9月13日,62,弹性碰撞,2023年9月13日,63,塑性碰撞,2023年9月13日,64,2.两球对心正碰撞,设质量分别为m1,m2,两物体发
15、生对心正碰撞，开始时质心的速度分别是v1,v2且 v1v2;末了时质心的速度分别是u1,u2.,取整体，由冲量守恒，有,2023年9月13日,65,特殊情况：,（1）若e=0,则,（2）若e=1,则,2023年9月13日,66,又若m1=m2,则 u1=v2,u2=v1。,说明碰撞后两物速度互换。,设碰撞开始与末了系统的动能分别为T1和T2，则,2023年9月13日,67,塑性碰撞 e=0，且 v2=0，则,说明系统损失的动能与两物体的质量比有关。,碰撞过程中，系统动能的损失为,2023年9月13日,68,工程应用：,（1）打桩时，希望桩获得尽可能多的动能，去克服土壤给桩的阻力，这就要求损失的
16、动能越少越好。这时应满足m1m2。,（2）锻压时，希望锻件产生尽可能大的变形，这就要求损失的动能越多越好。这时应满足m1m2。,2023年9月13日,69,例1 汽锤锻压金属。汽锤m1=1000kg，锤件与砧块总质量m2=15000kg，恢复系数e=0.6，求:汽锤的效率。,2023年9月13日,70,设具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。,当刚体受到位于对称平面内的碰撞冲量作用时，刚体的转动角速度将发生变化，同时在转动轴的轴承支承处将产生相应的约束碰撞力冲量。,四、刚体的碰撞,2023年9月13日,71,为使轴承的约束力碰撞冲量等于零，必须使IOx和IOy同时等于零。,202
17、3年9月13日,72,撞击中心位于刚体质心与转轴轴心的连线或其延长线上.主动力的碰撞冲量通过撞击中心、并且垂直于刚体质心与转轴轴心的连线或其延长线，则在转轴轴承处不会引起约束力碰撞冲量。,刚体上，能够使约束力碰撞冲量等于零的主动力碰撞冲量的作用点，称为撞击中心。,2023年9月13日,73,例2 均质杆质量m，长2a，可绕O轴转动，杆由水平无初速落下，撞到一固定物块。设恢复系数为e.求碰撞后杆的角速度，碰撞时轴承的碰撞冲量及撞击中心的位置。,对碰撞阶段应用冲量,2023年9月13日,74,对轴0应用冲量矩定理,2023年9月13日,75,2023年9月13日,76,例3 匀质杆质量 m 长 L
18、，由H高度静止下落，恢复系数为e。求碰撞末杆的角速度及重心速度。,2023年9月13日,77,例5 质量均m、长为L的匀质直杆AB、BD 铰接，置于光滑水平面上，如图所示，两杆相互垂直时，一冲量I作用在D处.求（1）此时两杆的角速度，（2）此时系统的动能。,2023年9月13日,78,思考题,2023年9月13日,79,动力学普遍定理,动量定理,动量方法,6.4 普遍定理的综合应用,动量矩定理,动能定理,能量方法,2023年9月13日,80,动力学两类问题与分析程序,主动力,质点系运动,动约束力,非自由质点系,一般分析程序：先避开未知约束力，选择合适的定理求解运动量；然后再用质心运动定理确定动
19、约束力。,质点系运动,2023年9月13日,81,例1 质量为mA的质点A从静止沿1/4光滑圆弧轨道滑下，质量为mB的物体B可在光滑水平面上自由滑动。求:当A滑到圆弧底时A和B的速度。,2023年9月13日,82,机械能守恒定律,水平方向动量守恒,解：,点A作合成运动，取固定面为重力势能零点。,联立求解可得,2023年9月13日,83,例2 均质轮A和B的半径均为r，轮A、B和物D的重量均为W，轮B上作用矩为M的力偶，使轮A自静止开始沿斜面纯滚,且3Wr/2 MWr/2。不计轮B的轴承处摩擦力。求：,1、物块D的加速度；2、二圆轮之间的绳索所受拉力；3、圆轮B处的轴承约束力。,2023年9月1
20、3日,84,例3 均质圆盘O放置在光滑的水平面上，质量为m，半径为R，匀质细杆OA长为l，质量为m。开始时杆在铅垂位置，且系统静止。,求：杆运动到图示位置时的角速度。,2023年9月13日,85,AB杆与圆盘O组成的组合体，杆和圆盘质量都为m,AB=2r。圆盘在地面上作纯滚动。,求:（1）AB从垂直位置无初运动到水平位置时的角速度.（2）此位置地面对圆盘的约束力。,思考题：,2023年9月13日,86,方法一、动能定理求角速度，,刚体平面运动微分方程求角加速度及约束力,还需用基点法建立运动学补充方程。,2023年9月13日,87,方法二、动能定理求任意位置的角速度，,求导得出角加速度；,质心运
21、动定理求约束力，,还需用基点法建立运动学补充方程。,2023年9月13日,88,？,均质杆AB长度为l、质量为 m,A 端与小圆滚轮铰接，小圆滚轮的重量不计。取坐标 x,。请判断关于系统动能的下列表达式是否正确,2023年9月13日,89,？,CV,行星轮机构中，小圆轮的质量为m。请判断关于小圆轮动能的下列表达式是否正确？,2023年9月13日,90,？,半径为 r 的大圆环，不计质量，绕 O轴旋转。大圆环上套有质量为 m的小圆环A。小圆环在光滑的大圆环上自由滑动。,怎样确定小圆环的速度，进而确定其动能,2023年9月13日,91,？,l,m,长度为l，质量为m的均质杆件AB，杆件两端 A和
22、B分别沿光滑的墙面和地面滑动，A 端的速度为vA。,怎样确定杆件 AB 的角速度，进而确定其动能,2023年9月13日,92,？,为求物块A下降至任意位置x时的加速度，可以采用哪一个动力学定理,2023年9月13日,93,？,为求物块A下降至任意位置(x)时的加速度，可以采用哪一个动力学定理,2023年9月13日,94,动能定理建立了作用在质点系上的力所作之功与质点系动能变化之间的关系；机械能守恒所建立的是质点系的动能与势能之间的相互转化关系。,动能定理中可以包含任何非有势力所作之功，因此，动能定理所包含的内容比机械能守恒更加广泛。可以说，机械能守恒是质点系所受之力均为有势力时的动能定理。,2
23、023年9月13日,95,应用机械能守恒求解动力学问题时，摩擦力如何考虑？主要看摩擦力是否作功。,1、当系统存在摩擦力，并且摩擦力作功，这时机械能守恒不成立，只能应用动能定理；,2、当系统存在摩擦力，但是摩擦力不作功，这时机械能守恒成立，可以应用机械能守恒。,2023年9月13日,96,？,可以应用机械能守恒吗,2023年9月13日,97,？,可以应用机械能守恒吗,2023年9月13日,98,课堂练习题1重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB 在B 处用铰链连接。系统由图示位置无初速地释放。求:系统经过最低位置B点时的加速度和A处约束力。,2023年9月13日,99,课堂练习题2已知滑轮A：m1、R1，R1=2R2，JO;滑轮B：m2、R2，JC；物体C：m3求物C的加速度和轴承O处约束力,
