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1、2023年9月13日,1,第8章 虚位移原理,分析力学两个基本原理之一既是分析静力学基础，也是分析动力学基础.,2023年9月13日,2,#虚位移及其计算,#虚位移原理及应用,#势力场中的虚功方程及稳定性,#广义坐标与自由度,#约束及其分类,#用广义力表示的质点系平衡条件,2023年9月13日,3,虚位移原理研究受约束的质点、质点系、刚体、刚体系统在力系作用下的平衡规律。是研究非自由质点系平衡问题的最一般的原理，又称分析静力学。,在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，由此用来研究刚体及刚体系统的平衡问题，称为几何静力学。,2023年9月13日,4,几何静力
2、学存在的缺陷：,2023年9月13日,5,2023年9月13日,6,2023年9月13日,7,电力机车从接触网受取电能的电气设备，安装在车顶上。构造:受电弓可分单臂弓和双臂弓两种，均由集电头、上框架、下臂杆（双臂弓用下框架）、底架、升弓弹簧、传动气缸、支持绝缘子等部件组成。近来多采用单臂弓（见图）动作原理:升弓：压缩空气经受电弓阀均匀进入传动气缸，气缸活塞压缩气缸内的降弓弹簧，此时升弓弹簧使下臂杆转动，抬起上框架和集电头，受电弓均匀上升，并同接触网接触。降弓：传动气缸内压缩空气经受电弓缓冲阀迅,2023年9月13日,8,几何静力学存在的缺陷：,1.对可变系，必要非充分2.拆开研究，未知力多,2
3、023年9月13日,9,虚位移原理的基本思想：,几何静力学的平衡方程,2023年9月13日,10,功能原理的方程,利用动能定理可以得到与几何静力学完全相同的平衡条件。,2023年9月13日,11,8.1 约束及其分类,一.位形空间与约束,质点系内各质点的 3n个坐标的集合，定义为质点系的位形。,建立抽象的3n维正交欧氏空间（x1,x2,x3n),称为质点系的位形空间。,质点系所受到的约束，可用联系位形与时间的约束方程来表示。,约束物体运动所受到的限制。,2023年9月13日,12,1 定常约束与非定常约束,定常约束约束方程中不显含时间的约束：,非定常约束约束方程中显含时间的约束：,二.约束的分
4、类,2023年9月13日,13,定常约束的例子单摆,x2+y2=l2,约束方程中不显含时间t.,2023年9月13日,14,非定常约束的例子偏心转子的周期运动,如果已知转子的转动规律(例如以等角速度 旋转)，这种转动规律就是对系统的约束，约束方程为：,这种约束即为非定常约束。,2023年9月13日,15,2 双侧约束与单侧约束,双侧约束 约束方程可以写成等式的约束。,单侧约束 约束方程写成不等式的约束。,2023年9月13日,16,只能限制质点或质点系单一方向运动的约束即为单侧约束，否则为双侧约束。,双侧约束与单侧约束的例子,2023年9月13日,17,2023年9月13日,18,3 完整约束
5、与非完整约束,完整约束 约束方程不包含质点速度，或者包含质点 速度但约束方程是可以积分的约束。,非完整约束 约束方程包含质点速度、且约束方程不 可以积分的约束。,2023年9月13日,19,完整约束的例子圆轮在平面上纯滚动,说明圆轮所受约束为完整约束。,2023年9月13日,20,非完整约束的例子追踪系统,此约束方程不可以积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。,2023年9月13日,21,2023年9月13日,22,8.2 广义坐标与自由度,一、广义坐标 确定质点系位形的独立参变量。,2023年9月13日,23,二、自由度 确定质点系位置的独立参变量的数目.,k=3n-s,1.对于完整约束系统
6、，广义坐标的数目，等于系统的自由度数。,2.对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数形式：,对于非完整约束系统，广义坐标的数目大于自由度数。这时，系统的自由度数等于独立的虚位移数目。,2023年9月13日,24,利用广义坐标描述质系运动几何约束自然满足,n=2S=1k=3,n=2S=3k=1,思考：确定下列平面系统的自由度并选择广义坐标,2023年9月13日,25,8.3 虚位移及其计算,在约束允许条件下，各质点实际发生的位移称为实位移。,在约束允许条件下，各质点可能发生，而实际未发生的任何微小位移，称为质点系的虚位移。,一.虚位移的概念,2023年9月13日,26,为了区分虚位
7、移与微小的实位移，通常用变分符号 表示虚位移，用d表示微小的实位移。,虚位移只是可能的位移，具有任意性和方向的不确定性；实位移则有确定的指向。,虚位移是与作用力和时间无关，实际未发生的位移；实位移是在力作用下经过一定的时间完成的真实位移。,虚位移只能是微小的位移；实位移既可以是微小的也可以是有限的位移。,在定常约束情况下，微小的实位移只是虚位移中的一种。,2023年9月13日,27,二.虚位移的计算,1 几何法,类似于运动学中求刚体内各点速度的方法求各点虚位移之间的关系，称为几何法。,例如要求图示曲柄连杆机构中点B和点C的虚位移之间的关系,可用基点法，投影法或瞬心法求得为,2023年9月13日
8、,28,2 解析法,对质点系中各质点的直角坐标关于广义坐标做类似于微分运算的变分运算，可求得该质点的虚位移在直角坐标轴上的投影，这种方法称为解析法。,例如要求图示曲柄连杆机构中点B和点C的虚位移之间的关系,2023年9月13日,29,于是,2023年9月13日,30,凡约束力对于质点系的任何虚位移所作的虚功之和为零的约束，称为理想约束。,质点系受有理想约束的条件：,8.4 虚位移原理及应用,一.理想约束,理想约束的例子：,1、光滑面约束,2023年9月13日,31,2、铰链约束,3、圆轮在平面上作纯滚动,受定常理想约束的质点系，在某位置平衡的必要与充分条件是：,二.虚位移原理,上式又称为虚功方
9、程。,2023年9月13日,32,点积形式：,自然坐标形式：,直角坐标形式：,2023年9月13日,33,三.虚位移原理的应用,1 系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；,2 求系统在已知主动力作用下的平衡位置；,3 求平衡系统的约束外力；,4 求平衡系统的约束内力。,2023年9月13日,34,例1 图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，在主动力 F1 和 F2 作用下于图示位置平衡.求主动力之间的关系。,答：,2023年9月13日,35,2023年9月13日,36,例2 图示操纵汽门的杠杆系统，已知OA/OB=1/3，求此系统平衡时主动力P 和Q 间的关系。,答：,2023
10、年9月13日,37,例3 图示系统中除连接H点的两杆长度为l 外,其余各杆长度均为 2l,弹簧的弹性系数为k,当未加水平力 P 时弹簧不受力，=0。求平衡位置。,答：,2023年9月13日,38,惰钳机构由六根长杆和两根短杆组成，长杆长2a，短杆长a，各杆之间用铰链相连。它在顶部受力F的作用，问下部力FQ的大小为多少才能使系统处于平衡状态。图中 为已知角。,2023年9月13日,39,图示机构在W及弹簧约束下处于平衡，杆长 L，弹簧系数为 k，原长为b。不计杆重。求平衡位置。,课堂练习题,2023年9月13日,40,例4 多跨静定梁，求支座A处的反力。,答：,2023年9月13日,41,螺旋压
11、榨机的例子,2023年9月13日,42,几何静力学存在的缺陷：,1.对可变系，必要非充分2.拆开研究，未知力多,2023年9月13日,43,例5 平面平衡结构.已知力F，平面力偶矩m，ABL，BC2L，BD水平，不计杆重及摩擦。求：（1）BD杆的内力；（2）铰链E处的水平约束力。,答：,2023年9月13日,44,？,图示为三铰拱，已知FO，为求支座 B的约束力，问应如何解除约束,思考,2023年9月13日,45,2023年9月13日,46,2023年9月13日,47,？,图示为桁架结构，已知 P和各杆长度，为求杆1，2和3的内力，问应如何解除约束,2023年9月13日,48,2023年9月1
12、3日,49,2023年9月13日,50,？,图示为多跨梁，已知 P，q和各杆几何尺寸，为求支座A，B的约束反力，问应如何解除约束,2023年9月13日,51,以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。,应用虚位移原理求解的要点和步骤：,1）正确选取研究对象：,若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以相应的约束反力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。,2023年9月13日,52,2）正确进行受力分析：画出主动
13、力的受力图，包括计入主动力的弹簧力、摩擦力和待求的约束反力。,3）正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系。,4）应用虚位移原理建立虚功方程。,5）解虚功方程由已知量求出需求量。,2023年9月13日,53,解题步骤：,给定系统虚位移或受力状态。,首要条件：,不可动时，解除部分约束，代以相应的约束力，并视约束力为主动力，进行求解。,系统须可动（至少1个自由度）,3)列虚功方程求解。,2)求各力作用点虚位移关系。,2023年9月13日,54,8.5 用广义力表示的质点系平衡条件,广义坐标,第i个质点的矢径,选择 k个广义坐标 q1，q2，qk 以确定系统内各个质点的位置。,第i个质点的虚位移,2
14、023年9月13日,55,主动力的虚功用广义坐标表示为,FQj 称为与第j个广义坐标qj对应的广义力。,2023年9月13日,56,虚位移原理的另一种表达形式,用广义力表示的质点系平衡条件为,受定常理想约束的质点系，其平衡充分必要条件为：所有与广义坐标对应的广义力均等于零。,2023年9月13日,57,（1）公式法,广义力计算的两种方法：,（2）虚功法,2023年9月13日,58,答：,2023年9月13日,59,答：,2023年9月13日,60,？,思考,图示为三自由度机构，若取杆DE，CD以及AB的位置角为广义坐标，问它们的各自虚位移是如何发生的，第三个虚位移对吗,2023年9月13日,6
15、1,8.6 势力场中的虚功方程及稳定性,如果作用在质点系上的所有主动力都是有势力，其势能函数可以表示为广义坐标的函数,将有势力的表达式写成分量的形式,1.势力场中的虚功方程,2023年9月13日,62,有,即 势力场中的虚功方程。,代入虚功方程,对于保守系统，质点系平衡于势能取驻值状态。,2023年9月13日,63,势力场中，对应于第 j个广义坐标 qj的广义力等于系统势能对这一广义坐标的偏导数冠以负号。,或代入广义力表达式,2023年9月13日,64,得势力场中质点系平衡的充要条件,质点系在平衡位置处势能取驻定值。,2023年9月13日,65,例1 图示结构中，4杆及弹簧原长均为l，弹簧 刚
16、度为k,求平衡时力F大小与之关系。,解:取不受力时，滑块A位置为力F零势能位置；取弹簧原长l为弹性势能零位置。则图示位置时,由 得,2023年9月13日,66,由，有,思考:将弹簧力视为内力，用一般形式虚功方程,如何求解?,计入弹簧内力虚功，,2023年9月13日,67,例2 图示机构在W及弹簧约束下处于平衡，杆长L，弹簧系数为 k，原长为b。不计杆重，求平衡条件。,2023年9月13日,68,解：有势系统,取x轴为重力势能零点，原长位置为弹性势能零点。,2023年9月13日,69,2.平衡的稳定性,若质点系在某个平衡位置处受到微小扰动（微小的偏离或微小的冲击）后，每个质点只在它的平衡位置附近
17、运动而不产生显著的偏离，则称该平衡位置是稳定的。反之，称为不稳定。,拉格朗日定理,若质点系在某个平衡位置上的势能具有极小值，则该平衡位置是稳定的。,2023年9月13日,70,对于单自由度质点系,若V的不等于零的最低阶导数是偶数阶且为正，则势能V有极小值，则该平衡位置是稳定的。,（a）稳定平衡,（b）非稳定平衡,（c）随遇平衡,2023年9月13日,71,2023年9月13日,72,取弹簧原长为零势能状态，过B的水平面为重力势能零势面，则任意 位置时系统势能:,由，有,2023年9月13日,73,虚功方程应用于变形体系时，内力虚功一般不为零.,一、虚功方程用于变形体的形式,即 外力虚功等于质点
18、系的虚变形能。,这就是用于变形体的虚功方程形式。,则有,令 为变形体的虚变形能。,质点系的虚功方程可写为,8-7 虚功方程应用于变形体系统,2023年9月13日,74,二、虚变形能的计算,图示变形体受约束无刚体位移，在力系 作用下，各力作用点位移为，在缓慢加载下，外力系作功转化为变形体的变形能。弹性变形能V 可表示为各外力 的函数。,弹性变形能 V 也可表示为各力作用点位移i的函数,则,则,2023年9月13日,75,1卡氏定理,给定虚位移如图（b)所示,a）卡氏第一定理,三、卡氏定理与莫尔定理,2023年9月13日,76,b）卡氏第二定理,由 有,给虚力状态 如图(d)（仅Fi0）,故,此即
19、卡氏第二定理:弹性系统的应变能对于某一个力Fi的偏导数等于与该力相应的位移。导数为正时，i与力方向一致;为负时，方向相反.,2023年9月13日,77,给定虚力状态如图（f)：Fi=1,其余为零。真实状态为虚位移,2 莫尔定理,由，有,即,此即莫尔定理：系统沿某力Fi方向的位移等于由相应单位力引起的内力在真实变形中所作的功。,2023年9月13日,78,例1 如图所示,两根弹性杆的刚度系数分别为,在连接处O悬挂重量为G的重物,试求O点的水平位移与竖直位移.,2023年9月13日,79,解：,1)用莫尔定理求解。求水平位移时，虚设图(b)所示力状态，各杆内力如图；将真实变形作为虚位移，且,2023年9月13日,80,由式，有,故,2023年9月13日,81,求竖向位移时，虚设图(c)所示单位竖向力状态，,(c),(a),同理可得,2023年9月13日,82,在结点o加水平力F,思考：如何求？,系统变形能,2）用卡氏定理求位移,
