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1、1.6 一质点沿位矢及垂直于位矢的速度分别为 及，式中 及 是常数。试证其沿位矢及垂直于位失的加速度为,解：,质点沿位矢速度：,沿垂直于位矢速度：,即,（取位矢方向，垂直位矢方向）,所以,又因为,即,故,即沿位矢方向加速度：,垂直位矢方向加速度：,对求导可得,对求导,把代入式中可得,1.10 一质点沿着抛物线运动其切向加速度的量值为法向加速度量值的倍。如此质点从正焦弦的一端以速度出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。,质点切向加速度为：,解：,法向加速度为：,且,又因为,所以,又,把两边对时间求导得：,又因为,所以,所以,可化为,对等式两边积分,所以,答：设质心的速度Vc，第i个质点相对质心的
2、速度Vi，则，代入质点组动量定理可得 这里用到了质心运动定理。故选用质心坐标系，在动量定理中要计入惯性力。但质点组相对质心的动量守恒。当外力改变时，质心的运动也改变，但质点组相对于质心参考系的动量不变，即相对于质心参考系的动量不受外力影响，这给我们解决问题带来不少方便。,2.7选用质心坐标系，在动量定理中是否需要计入惯性力？,2.8 轮船以速度 行驶。一人在船上将一质量为m的铁球以速度 向船首抛去。有人认为：这时人作的功为,你觉得这种看法对吗？如不正确，错在什么地方？,答:,不对.,因为人抛球前后球与船和人组成的系统的动量守恒，球抛出后船和人的速度不再是,设船和人的质量为M,球抛出后船和人的速
3、度为v1,则,球出手时的速度应是,人做的功应等于系统动能的改变，不是只等于小球动能的改变，故人做的功应为,显然与系统原来的速度无关。,答：秋千受绳的拉力和重力的作用，在运动中绳的拉力提供圆弧运动的向心力，此力不做功，只有重力做功。重力是保守力，故重力势能与动能相互转化。当秋千荡到铅直位置向上去的过程中，人站起来提高系统重心的位置，人克服重力做功使系统的势能增加；当达到最高点向竖直位置折回过程中，人蹲下去，内力做功降低重心位置使系统的动能增大，这样循环往复，系统的总能不断增大，秋千就可以越荡越高。这时能量的增长是人体内力做功，消耗人体内能转换而来的。,2.9 秋千何以能越荡越高？这时能量的增长是
4、从哪里来的？,2.2 如自半径为a的球上，用一与球心相距为b的平面，切出一球形帽，求此球形冒的质心。,解 建立如图图所示的球坐标系,把球帽看成垂直于z轴的所切层面的叠加（图中阴影部分所示）。设均匀球体的密度为,则,由对称性可知，此球帽的质心一定在z轴上。,代入质心计算公式，即,2.7 质量为M，半径为a的光滑半球，其底面放在光滑的水平面上。有一质量为m的 质点沿此半球面滑下。设质点的初位置与球心的连线和竖直向上的直线间所成之角为，并且起始时此系统是静止的，求此质点滑到它与球心的连线和竖直向上直线间所成之角为 时 之值。,解:,当m沿半圆球M下滑时，M将以V向所示正方向的反向运动。以M、m组成系
5、统为研究对象，系统水平方向不受外力，动量守恒，即,m相对于地固连的坐标系 的绝对速度,为m相对M的运动速度,竖直方向,故水平方向,在下滑过程中，只有保守力（重力）做功，系统机械能守恒：,=,把代入,=,把代入,3.4 简化中心改变时，主矢和主矩是不是也随着改变？如果要改变，会不会影响刚体的运动？,3.1半径为r的光滑半球形碗,固定在水平面上.一均质棒斜靠在碗缘,一端在碗内,一端则在碗外,在碗内的长度为c,试证棒的全长为,证:研究对象为棒,建立直角坐标系并受力分析如图.,均质棒受到碗的弹力分别为，棒自身重力为G。棒与水平方向的夹角为。设棒的长度为。,由于棒处于平衡状态，所以棒沿x轴和y轴的合外力
6、为零。沿过A点且与z轴平行的合力矩为0。即：,由式得：,又由于,即,将代入得：,3.4 相同的两个均质光滑球悬在结于定点O的两根绳子上，此两球同时又支持一个等重的均质球，求角 及角 之间的关系。,Ox轴竖直向下，相同的球A、B、C互切，B、C切于D点。设球的重力大小为G，半径为r，则对A、B、C三个球构成的系统来说，在x轴方向的合力应为零。即：,解：,对于C球，它相对于过D点与z轴平行的轴的合力矩等于零。即：,D,可得：,5.2 为什么在拉格朗日方程中，不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲?,答:因拉格朗日方程是从虚功原理推出的，而
7、虚功原理只适用于具有理想约束的力学体系虚功方程中不含约束反力，故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系，不含约束力；再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动，而约束反作用力不能改变体系的动能，故不含约束反作用力.,广义坐标是确定质点系完整的独立坐标，它不一定是长度，可以是角度或其他物理量，如面积、体积等.广义力名为力，实际上不一定有力的量纲，可以是力也可以是力矩或其他物理量，如压强、场强等等。,若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变，且其余广义坐标不变，则广义力的数值等于外力的功。,据此关系已知其中一个量的量纲则可得到另一个量的量纲.,若是 长度，则 一定是力，若是 力
8、矩，则 一定是角度,5.1)试用虚功原理解3.1题.,3.1半径为r的光滑半球形碗,固定在水平面上.一均质棒斜靠在碗缘,一端在碗内,一端则在碗外,在碗内的长度为c,试证棒的全长为,解:,杆受理想约束，在满足题意的约束条件下杆的位置可由杆与水平方向夹角 所唯一确定。杆的自由度为1，由平衡条件：,即,变换方程,故,代回式即,因 在约束下是任意的，要使上式成立必须有：,又由于,故,代回式得,3.4 相同的两个均质光滑球悬在结于定点O的两根绳子上，此两球同时又支持一个等重的均质球，求角 及角 之间的关系。,5.2)试用虚功原理解3.4题.,解:,三球受理想约束，球的位置可以由 确定，自由度数为1，故:
9、,得,由虚功原理,故,因 在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须,故,又由,得：,故:,4.10 质量为m的小环M，套在半径为a的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动。如圆圈在水平面内以匀角速 绕圈上某点O转动，试求小环沿圆圈切线方向的运动微分方程。,5.6)试用拉氏方程解4.10.,解:,(1)平面运动，一个自由度.,(3)因未定体系受力类型，由一般形式的拉格朗日方程,(2)选广义坐标为，广义速度,只受约束力,广义力,代入得：,在极坐标系下：,故,5.9设质量为m的质点，受重力作用，被约束在半顶角为 的圆锥面内运动。试以r,为广义坐标，由拉格朗日方程求此质点的运动微分方程。,解:,（1）按题意为保守力系，质点被约束在圆锥面内运动，故自有度数为2.,（2）选广义坐标,（3）在柱坐标系中：,以O-xy面为零势能面，则：,拉氏函数,（4）,代入保守系拉氏方程得,5.29 试用哈密顿原理解4.10题。,解:,根据哈密顿原理,故,因为,所以,设，则体系的拉氏函数,又因为,因为 是任意的，所以有,所以,
