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1、5.1 电 容 元 件,5.2 电 感 元 件,5.3 耦 合 电 感,5.4 理 想 变 压 器,本章目次,第 5 章 电容元件和电感元件,本章介绍电容元件、电感元件。它们是重要的储能元件。其端口电压、电流关系不是代数关系而是微分或积分关系，因此又称为动态元件。通过本章学习，应掌握电容元件、电感元件、互感元件的特性方程、能量计算及各种等效变换。此外还介绍理想变压器。,基本要求：熟练掌握电容元件端口特性方程、能量计算及串 并联等效变换。,电容构成原理,电容的电路符号,实际电容器示例,当电容器填充线性介质时，正极板上存储的电荷量q与极板间电压u 成正比,电容系数，单位：F(法拉)表示。常用单位有
2、F(微法)及pF(皮法)，分别表示为10-6F及10-12F。,已知电流 i，求电荷 q（电荷的积储过程）,极板上储存的电荷量变化，在电容的两端就有 电流产生,可见电容的端口电流并不取决于当前时刻电压值，而与电压的变化率成正比，所以电容是一种动态元件。,物理意义：t 时刻电容上的电荷量是此刻以前由电流充/放电而积累起来的。所以某一时刻的电荷量不能由该时刻的电流值来确定，而须考虑此前全部电流的“历史”，所以电容也属于记忆元件。对于线性电容有：,在关联方向下，输入线性电容端口的功率,电容存储的电场能量,即电容的储能为：,从全过程来看，电容本身既不提供任何能量，也不消耗能量，所以电容是无源元件。,综
3、上所述，电容是一种动态、记忆、储能、无源元件。,上式说明电容吸收的总能量全部储存在电场中，所以电容又是无损元件。,截止到 t 瞬间，从外部输入电容的能量为,解 电阻消耗的电能为,电容最终储存的电荷为：,由此可知,图示RC串联电路，设uC(0)=0，i(t)=I e-t/RC。求在0t时间内电阻消耗的电能和电容存储的电能，并比较二者大小。,电容最终储能为：,设使用前电容上无电荷，根据KVL及电容元件的电压电流关系得：,使用电容器时，除了要关注其电容值外，还要注意它的额定电压。若工作电压超过额定电压，电容就有可能会因介质被击穿而损坏。为了提高总电容承受的电压，可将若干电容串联起来使用，如下图所示：
4、,串联等效电容的倒数等于各电容的倒数之和。,为了得到电容值较大电容，可将若干电容并联起来使用，如下图所示：,由于并联电容的总电荷等于各电容的电荷之和，即,注：如果在并联或串联前电容上存在电荷，则除了须计算等效电容外还须计算等效电容的初始电压。,在直流电路中电容相当于开路，据此求得电容电压分别为,所以两个电容储存的电场能量分别为,图示电路，设，电路处于直流工作状态。计算两个电容各自储存的电场能量。,设 0.2F 电容流过的电流波形如图所示，已知。试计算电容电压的变化规律并画出波形。,(2)：，电容放电,(3)：此时，电容电压保持不变，,电容电压的变化规律波形如右图,基本要求：熟练掌握电感元件端口
5、特性方程、能量计算及串并联等效变换。,尽管实际的电感线圈形状各异，但其共性都是线圈中通以电流 i，在其周围激发磁场(magnetic filed)，从而在线圈中形成与电流相交链的磁通(flux)（两者的方向遵循右手螺旋法则），与线圈交链成磁链，如图所示：,电感元件的特性用电流与磁链关系来表征，其电路符号如下所示：,对应于一条在磁链-电流平面过原点的直线，且位于、象限。,电感系数(inductance)。单位亨利(符号H),如果线圈的磁场存在于线性介质，称为线性电感，磁链与电流成正比,对线性电感，其端口特性方程,即线性电感的端口电压与端口电流的时间变化率成正比。因为电感上电压-电流关系是微分或积
6、分关系，所以电感也属动态元件。,根据电磁感应定律和楞茨定律，当电压、电流方向如图下图所示，并且电流与磁通的参考方向遵循右螺旋法则时，端口电压 u 与感应电动势 e 关系如下,若已知电压求磁链或电流，则：,此两式表明，电感中某一瞬间的磁链和电流决定于此瞬间以前的全过程的电压，因此电感也属于记忆元件。,线性电感吸收的功率为,截止到 t 时刻电感吸收的能量为:,上式说明电感吸收的总能量全部储存在磁场中，所以电感又是无损元件。,电感的串联：电感也可以串联或并联。仿照电容串、并联电路的分析可以得出结论：电感串联时，等效电感等于各电感之和，即：,电感也是储能元件。,电感的并联：电感并联时，等效电感的倒数等
7、于各电感倒数之和，即,说明：对电路模型来讲，电感在串联或并联之前可以假设存在一定的磁链或电流。这样，串联或并联联接后，除须计算等效电感外，还须计算等效电感的初始磁链或初始电流。,根据电流的变化规律，分段计算如下,电路如图(a)所示，0.1H电感通以图(b)所示的电流。求时间 电感电压、吸收功率及储存能量的变化规律。,电压、功率及能量均为零。,各时段的电压、功率及能量的变化规律如右图(c)、(d)、(e)所示。,小结：本题可见，电流源的端电压决定于外电路，即决定于电感。而电感电压与电流的变化率成正比。因而当 时，虽然电流最大，电压却为零。,基本要求：深刻理解同名端的概念、熟练掌握互感元件端口方程
8、和互感元件的串并联等效电路。,当几个线圈之间存在着磁耦合，便形成了多端口电感。本节只讨论二端口电感，习惯上称为互感元件，如图所示。,线圈的总磁链是自感磁链和互感磁链代数和。对线性电感，自感/互感磁链均正比与激发它们的电流。设电流与自感磁链的方向符合右手螺旋关系，则：,上式中互感磁链前的符号，由自感和互感磁链的相对方向而定，一致取“+”，否则取“”。,自感应磁链,互感应磁链,在下图中，可明显地判断自感磁链和互感磁链的相对方向。但当将实际线圈抽象成电路模型时，就靠电流进、出同名端来判断互感磁链的+（或-）。,同名端,：使所激发的自感磁链和互感磁链方向一致的两个线圈电 流的进端或出端。同名端多用“*
9、”或“”表示。,如果两个端口电流都流进（或流出）同名端，表示它们所激发的磁链方向一致，则互感磁链前取正号。否则，它们所激发的磁链方向相反，则互感磁链前应取负号。如下图所示。,同名端的实验测定：当某线圈通以电流时，在两个线圈中感应出相同极性电压的端子为同名端。,根据电磁感应定律，在端口电压、电流为关联方向、并且自感磁通与电流符合右手螺旋关系时，互感元件的VAR为：,若式中 u1、i1 或 u2、i2 的参考方向相反，则 L1 或 L2 前应添入负号；若u1、i2 或 u2、i1 的参考方向相对星标*是相同的，则 M 前取正号，否则应取负号.,分析：,列出图示两个互感元件的特性方程,上述列写互感方
10、程的方法称为逐项判断法。故上图所示的互感元件特性方成为,3）端口 2 的电压和电流为非关联参考方向,自感电压 前为负。4）引起互感电压 的电流 参考方向流入端口1的非同名端，相对与端口2来说与 的参考方向一致，故 前取正。,基于相似解释，上图所示互感元件的特性方程。,正如一端口电感那样，输入互感的总能量将全部转化为磁场能量,在关联参考方向下，互感线圈的总输入功率为：,如果没有磁耦合，M=0，磁场能就是两个自感元件分别储能之和。存在磁耦合时，要增减一项M i1 i2，增与减要视互感的作用是使磁场增强还是使磁场减弱而定。,含互感元件电路的连接,由此可得串联等效电感：,1 互感元件的串联,2 互感元
11、件的并联,（3）代入（1）得：,（3）代（2）得：,消去互感后的等效电路为：,为求上图所示电路的等效电路，分别对其列KCL和KVL方程：,同理，异名端连接时的总等效电感为,对于实际的耦合线圈，无论何种串联或何种并联，其等效电感均为正值。所以自感和互感满足如下关系,耦合系数满足,同名端相连的等效电感：,3 互感线圈的T型联接：,各等效电感为,以空心变压器(一种绕在非铁磁材料上的变压器)为例，一个实际耦合电感，一般需要考虑绕组电阻，此时可用带有串联等效电阻的互感来表示其电路模型。,图中 i1、i2方向相对同名端是相反的，故M前均应取负号，端口特性方程将是：,理想化假设：1)铁心的磁导率2)每个线圈
12、的漏磁通为零,即两个线圈为全耦合3)线圈电阻为零,端口电压等于感应电动势4)铁心的损耗为零,基本要求：熟练掌握理想变压器特性方程，理解实际变压器与理想变压器的关系、理想变压器的电阻变换作用。,理想变压器是实际磁耦合元件的一种理想化模型。,理想变压器的端口方程：,相应有：,变比（匝数比）,理想变压器方程与 u、i 的参考方向和两线圈同名端位置有关：,对应的特性方程分别为：,理想变压器总的输入功率为：,说明：变压器元件不仅是无源元件，而且每一瞬间输入功率等于输出功率。说明传输过程中即无能量损耗，也无能量的存储，属于非耗能元件。,在实际工程中，变压器不但可以变压、变流，还可用于电阻变换。在下图所示电路中：,变压器输入端口等效电阻为：,当理想变压器输出端口接电阻 时，折算到输入端口的等效电阻为。如下图所示。,由变压器特性方程可知,对左回路应用KVL方程,将式(1)代入式(2)，考虑到，可得,
