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1、电路,第十四章 线性动态电路复频域分析4 学时14-1 14-5,第十四章 线性动态电路的复频域分析,主要内容：拉普拉斯(法)变换的定义拉普拉斯变换与电路分析有关的基本性质求拉普拉斯反变换的部分分式法(分解定理)KCL和KVL的运算形式，运算阻抗，运算导纳及运算电路通过实例说明在线性电路分析中的应用。,14-1 拉普拉斯变换的定义,多个动态元件复杂电路，用经典法直接求解微分方程比较困难。例：n阶微分方程，直接求解需要知道变量及(n-1)阶导数在t0+时刻值，电路中只给定各电感电流和电容电压t0+时刻值，求所需初始条件工作量很大。,14-1 拉普拉斯变换的定义-0,积分变换法,通过积分变换，把已
2、知时域函数变为频域函数，把时域微分方程化为频域函数代数方程。求出频域函数后，作反变换返回时域，可求得满足电路初始条件的原微分方程解答，不需确定积分常数。拉普拉斯变换法是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法之一。,14-1 拉普拉斯变换的定义-1,拉氏变换-1,一个定义在0，)区间的函数f(t)，其拉普拉斯变换式F(s)定义为 s=+j为复数，F(s)称f(t)的象函数，f(t)称F(s)的原函数。简称拉氏变换。f(t)拉氏变换F(s)存在条件是该式右边积分为有限值，e-st称收敛因子。对函数f(t)，如存在正有限值常数M和c，使得对 于所有t满足条件|f(t)|Mect 则f(t)的拉氏变换
3、式F(s)总存在。,14-1 拉普拉斯变换的定义-2,拉氏变换-2,原函数f(t)与e-st的乘积从t0-到对t进行积分，积分的结果不再是t的函数，而是复变量s的函数。拉氏变换是把一个时间域函数f(t)变换到s域内的复变函数F(s)。变量s称复频率。用拉氏变换法进行电路分析称电路的复频域分析方法，又称运算法。定义拉氏变换积分从t=0-开始，可计及t=0时f(t)包含冲激，方便计算有冲激函数的电路。,14-1 拉普拉斯变换的定义-3,拉普拉斯反变换,如F(s)已知，求对应f(t)，由F(s)到f(t)变换称拉普拉斯反变换，定义 式中c为正有限常数。用符号表示对时域函数作拉氏变换，用符号-1表示对
4、复变函数作拉氏反变换。,14-1 拉普拉斯变换的定义-4,例14-1(1),求以下函数的象函数：(1)单位阶跃函数；(2)单位冲激函数；(3)指数函数。解(1)单位阶跃函数的象函数 f(t)(t),14-1 拉普拉斯变换的定义-5,例14-1(2),(2)单位冲激函数的象函数 f(t)(t)可见按式(14-1)定义，能计及t0时f(t)所包含冲激函数。(3)指数函数的象函数 f(t)et(为实数),14-1 拉普拉斯变换的定义-6,14-2 拉普拉斯变换的基本性质,拉普拉斯变换有许多重要性质，仅介绍与线性电路有关基本性质。1线性性质设f1(t)和f2(t)是两个任意时间函数，象函数分别为F1(
5、s)和F2(s)，A1和A2是两个任意实常数，则 证,14-2 拉普拉斯变换的基本性质-0,例14-2,若：(1)f(t)sin(t)；(2)f(t)K(1-e-t)。函数定义域为0，求象函数。解(1)(2)根据拉氏变换线性性质，求函数乘以常数的象函数以及求几个函数相加减的结果象函数时，可先求各函数象函数再进行计算。,14-2 拉普拉斯变换的基本性质-1,2微分性质,函数f(t)象函数与其导数f(t)df(t)/dt象函数间关系：若 f(T)F(s)则 f(t)=sF(s)-f(0-)证 设e-stu，f(t)dtdv，则du-se-stdt，vf(t)。由于udvuv-vdu，所以 只要s实
6、部取足够大，当t时，e-stf(t)0，则F(s)存在，得f(t)sF(s)-f(0-),14-2 拉普拉斯变换的基本性质-2,例14-3,应用导数性质求下列函数的象函数：(1)f(t)cos(t)；(2)f(t)(t)。解(1)由于 而 所以(2)由于 而 所以此结果与例14-1所得结果完全相同。,14-2 拉普拉斯变换的基本性质-3,3积分性质,函数f(t)的象函数与其积分 的象函数之间满足如下关系：若 f(t)F(s)则证 令 uf(t)dt，dve-stdt，则duf(t)dt，利用分部积分公式udvuv-vdu，所以只要s的实部足够大，当t时和t0-时，等式右边第一项都为零，所以有,
7、14-2 拉普拉斯变换的基本性质-4,例14-4,利用积分性质求函数f(t)t的象函数。解 由于所以,14-2 拉普拉斯变换的基本性质-5,4延迟性质,函数f(t)的象函数与其延迟函数f(t-t0)的象函数之间有如下关系若 f(t)F(s)则 f(t-t0)e-st0F(s)其中，当tt0时，f(t-t0)0。证 令t-t0,14-2 拉普拉斯变换的基本性质-6,例14-5,求图13-1所示矩形脉冲的象函数。解 图13-1中矩形脉冲用解析式表示 f(t)=(t)-(t-)因为(t)1/s，根据延迟性质 又根据拉氏变换的线性性质，得,14-2 拉普拉斯变换的基本性质-7,常用函数的拉氏变换表,1
8、4-2 拉普拉斯变换的基本性质-8,14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开,用拉氏变换求线性电路时域响应，需拉氏反变换为时间函数。拉氏反变换可用式(14-2)求，但涉及复变函数积分，较复杂。如象函数较简单，能从拉氏变换表查原函数。不能从表中查原函数，设法把象函数分解为较简单、能从表中查到项，查出各项原函数，之和为所求原函数。,14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开-0,分解定理,电路响应象函数可表示为两个实系数s多项式之比，即s的有理分式 式中m和n为正整数，且nm。把F(s)分解成若干简单项之和，而这些简单项可以在拉氏变换表中找到，称部分分式展开法，或称分解定理。,14-3 拉普拉斯反变换的
9、部分分式展开-1,真分式,用部分分式展开有理分式F(s)时，需要把有理分式化为真分式。若nm，则F(s)为真分式。若nm，则 式中A是一个常数，其对应的时间函数为A(t)，余数项 是真分式。用部分分式展开真分式时，需对分母多项式作因式分解，求出D(s)0的根。D(s)0的根可以是单根，共扼复根和重根几种情况。,14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开-2,1D(s)0有n个单根,设n个单根分别是p1、p2、pn。于是F(s)可展开为式中K1、K2、Kn是待定系数。将上式两边都乘以(s-p1)，得令sp1，则等式除第一项外都变为零，这样求得K1(s-p1)F(s)s=p1 同理可求得K2、K3、K
10、n。所以确定式(13-4)中各待定系数的公式为Ki(s-p1)F(s)spi i1、2、3、n,14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开-3,D(s)0有n个单根(1),因为pi是D(s)0的一个根，故上面关于Ki的表达式为0/0的不定式，可以用求极限的方法确定Ki的值，即所以确定式(13-4)各待定系数的另一公式为确定式(13-4)各待定系数后，相应原函数为,14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开-4,例14-6,求 的原函数f(t)。解 因为 所以：D(s)0的根为p10，p2-2，p3-5D(s)3s2+14s+10根据式(13-5)确定各系数：同理求得：K20.5 K3-0.6所以 f(
11、t)0.1+0.5e-2t-0.6e-5t,14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开-5,2D(s)=0有共扼复根p1+j，p2-j,则由于F(s)是实系数多项式之比，故K1、K2为共扼复数。设K1|K1|ej1，则K2|K1|e-j1，有 f(t)=K1e(+j)t+K2e(-j)t=|K1|ej1e(+j)t+|K1|e-j1e(-j)t=|K1|etej(t+1)+e-j(t+1)=2|K1|etcos(t+1)(14-6),14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开-6,例14-7,求 的原函数f(t)。解 D(s)0根p1-1+j2，p2-1-j2为共轭复根。根据式(13-6),14-3
12、拉普拉斯反变换的部分分式展开-7,3如果D(s)0具有重根,则应含(s-p1)n的因式。现设D(s)中含有(s-p1)3的因式，p1为D(s)0的三重根，其余为单根，F(s)可分解为对于单根，仍采用 公式计算。为了确定K11、K12和K13，将式(13-7)两边乘以(s-pi)3，则K11被单独分离，即则 K11(s-p1)3F(s)|sp1,14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开-8,D(s)0具有重根(2),再对式(13-8)两边对s求导一次，K12被分离，即 所以 同样方法得推论得D(s)0具有q阶重根，其余为单根时分解式为,14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开-9,D(s)0具有重根
13、(3),前式中：如D(s)0具有多个重根时，对每个重根分别利用上述方法即可得各系数。,14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开-10,例14-8（1）,求 的原函数f(t)。解 令D(s)=(s+1)3s2=0，p1=-1为三重根，p2=0二重根首先以(s+1)3乘以F(s)得应用式(13-9)得：,14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开-11,例14-8（2）,为计算K21和K22，先以s2乘F(s)得应用式(13-9)可求得：K211 K22-3 所以相应的原函数为,14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开-12,14-4 运算电路,基尔霍夫定律的时域表示式为对任一结点，i(t)0对任一回路，
14、u(t)0 根据拉氏变换线性性质得基尔霍夫定律运算形式如下：对任一结点 I(s)0对任一回路 U(s)0根据元件电压、电流的时域关系，可推出各元件电压电流关系运算形式。,14-4 运算电路-0,电阻R的运算电路,图14-2a 电阻元件电压电流关系为u(t)Ri(t)两边取拉氏变换，得U(s)RI(s)(14-10)式14-10是电阻VCR运算形式，图14-2b称电阻R的运算电路。,14-4 运算电路-1,电感L的运算电路(1),图14-3a，电感有u(t)Ldi(t)/dt，取拉氏变换并根据拉氏变换微分性质，得：U(s)sLI(s)-Li(0-)(14-11a)式中sL为电感的运算阻抗，i(0
15、-)表示电感中初始电流。可得图14-3b运算电路，Li(0-)表示附加电压源的电压，反映电感中初始电流作用。,14-4 运算电路-2,电感L的运算电路(2),还可把式14-11a改写为可得图13-3c运算电路，其中1/sL为电感的运算导纳，i(0-)/s表示附加电流源的电流。,14-4 运算电路-3,电容C的运算电路,同理，对于图14-4a电容有取拉氏变换并根据拉氏变换积分性质得可分别得图14-4b、c运算电路，其中1/sC和sC分别为电容C的运算阻抗和运算导纳，u(0-)/s和Cu(0-)分别为反映电容初始电压的附加电压源的电压和附加电流源的电流。,14-4 运算电路-4,两个耦合电感的运算
16、电路(1),两个耦合电感，应包括互感引起附加电源。根据图14-5a，有：对上式两边取拉氏变换有 U1(s)sL1I1(s)-L1i1(0-)+sMI2(s)-Mi2(0-)U2(s)sL2I2(s)-L2i2(0-)+sMI1(s)-Mi1(0-)(14-13)式中sM称互感运算阻抗，Mi1(0-)和Mi2(0-)是附加电压源，其方向与电流i1、i2参考方向有关。,14-4 运算电路-5,两个耦合电感的运算电路(2),图14-5b为具有耦合电感运算电路。,14-4 运算电路-6,RLC串联电路,图14-6a RLC串联电路。设电源电压u(t)，电感初始电流i(0-)，电容初始电压uc(0-)。
17、运算电路为图14-6b。根据U(s)0，有或：式中Z(s)R+sL+1/sC为RLC 串联电路运算阻抗。在零初 始条件下，i(0-)=0，uc(0-)=0，有 Z(s)I(s)U(s)上式即运算形式的欧姆定律。,14-4 运算电路-7,14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路,运算法与相量法的基本思想类似。相量法把正弦量变换为相量，以相量为变量。运算法把时间函数变换为象函数，以象函数为变量。当电路所有独立初始条件为零时，电路元件VCR、KCL和KVL的相量形式与运算形式类似，同一电路相量方程和零状态下运算形式方程形式相似，但这两种方程有不同意义。非零状态下，电路方程运算形式应考虑附加电源作用，
18、电路方程运算形式与相量方程类似。相量法中各种计算方法和定理在形式上完全可移用于运算法。运算法求得象函数，用拉氏反变换可求对应时间函数。以下用实例说明拉氏变换法在线性电路分析中的应用。,例14-9（1）,图14-7a电路原处稳态。t0开关S闭合，用运算法求电流i1(t)。解 先求Us拉氏变换U(s)11/s开关闭合前电路处稳态，电感电流iL(0-)0，电容电压uc(0-)1 V。运算电路图14-7b。用回路电流法，设Ia(s)、Ib(s)如图，列方程：,14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路,例14-9（2）,代入已知数：解得求反变换所以,14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路,例14-10
19、（1）,图14-8aRC并联电路，激励为电流源is(t)，若：(1)is(t)(t)A(2)is(t)(t)A 求电路响应u(t)。解 运算电路13-8b。(1)当is(t)(t)A时，Is(s)1/s 反变换为,14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路,例14-10（2）,(2)当is(t)(t)A时，Is(s)1反变换为以上结果分别为RC并联电路的阶跃响应和冲激响应。用拉氏变换法求得的结果与第7章的结果相同。,14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路,例14-11（1）,图14-9a，原处稳态，t=0S闭合，求t0时uL(t)，已知us1=2e-2t V，us2=5(t)V，R1=R2=5
20、，L=1 H。解 运算电路图14-9b，其中：电感电流初始值 iL(0-)us2/R2=1 A,14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路,例14-11（2）,用结点法：设(0)点为参考结点，结点电压Un1(s)就是UL(s)。有代入已知数，得：UL(t)-1UL(s)(-4e-2t+5e-2.5t)V,14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路,例14-12（1）,图14-10a，已知R1=R2=1，L1=L2=0.1H，M=0.05H，激励为直流电压Us=1 V，求t=0时开关闭合后电流i1(t)和i2(t)。解 图14-10b运算电路。列回路电流方程：(R1+sL1)I1(s)-sMI2(s
21、)1/s-sMI1(s)+(R2+sL2)I2(s)0,14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路,例14-12（2）,代入已知数，得：(1+0.1s)I1(s)-0.05sI2(s)1/s-0.05sI1(s)+(1+0.1s)I2(s)0解得：i1(t)(1-0.5e-6.67t-0.5e-20t)Ai2(t)0.5(e-6.67t-e-20t)A,14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路,例14-13（1）,图14-11a，开关S原闭合。求打开S后电路中电流及电感元件上电压。解 L1中初始电流为US/R1=5A，S打开后运算电路14-11b，故：i(t)(2+1.75e-12.5t)A电流
22、随时间变化曲线14-11c。,14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路,例14-13（2）,本题中L1原有电流5A，L2中无电流，但开关打开后，L1和L2的电流在t0+时被强制为同一电流，i(0+)=3.75 A。两个电感电流都发生跃变，电感L1和L2的电压uL1和uL2中有冲激函数出现。uL1和uL2求得如下：,14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路,例14-13（3）,uL1(t)-6.56e-12.5t-0.375(t)V uL2(t)-2.19e-12.5t+0.375(t)V uL1(t)+uL2(t)-8.75e-12.5t V可见uL1+uL2中并无冲激函数出现，这是因为虽然L
23、1、L2中的电流发生了跃变，因而有冲激电压出现，但两者大小相同而方向相反，故在整个回路，不会出现冲激电压，保证满足KVL。从该实例可见，拉氏变换式下限取0-，自动把冲激函数考虑进去，因此无需先求t0+时跃变值。,14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路,第十四章 重点概念-1,14-1 拉普拉斯变换的定义积分变换法，反变换返回时域，不需确定积分常数。象函数，原函数。拉氏变换。收敛因子。复频率。运算法。拉普拉斯反变换。符号、符号-1表示。14-2 拉普拉斯变换的基本性质线性性质、微分性质、积分性质、延迟性质 14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开部分分式展开法（分解定理），真分式。D(s)=0的根（n个单根、共扼复根、重根）,第十四章 重点概念-2,14-4 运算电路电阻R、电感L、电容C的运算电路。两个耦合电感运算电路。串联电路运算阻抗，运算形式的欧姆定律。14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路相量法中各种计算方法和定理在形式上完全可移用于运算法。电感L1和L2的电压uL1和uL2中出现冲激函数。,
