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1、目 录,1-1 点在两投影面体系中的投影1-2 点在三投影面体系中的投影1-3 两点的相对位置和无轴投影图1-4 点的辅助投影,1-1 点在两投影面体系中的投影,一、点的投影 空间点在投影面上的投影仍是点。在正投影中只有点的一个投影不能确定该点在空间的位置。,规定：表示空间的点用大写字母标记，如A；表示点的投影用相应的小写字母标记，如a。,从本章起，如不特别声明，讲到“投影”，一律是指正投影。,1-1 点在两投影面体系中的投影,多面正投影法中，至少要用两个互相垂直的投影面，构建两投影面体系，作出点的两个投影，来确定该点在空间的位置。,二、两投影面体系及空间直角坐标系,1-1 点在两投影面体系中
2、的投影,水平放置的投影面称为水平投影面，常标以“H”。竖直放置的与H 面垂直的投影面称为正立投影面，常标以“V”。,二、两投影面体系及空间直角坐标系,1-1 点在两投影面体系中的投影,二、两投影面体系及空间直角坐标系,H 面和V 面构成两投影面体系（简称两面体系），它包含了确定空间点所必须的三个向度，即左右、前后、上下三个方向上的尺度。在两投影面体系中建立空间直角坐标系,空间点的位置用三个坐标（x，y，z）表示。,1-1 点在两投影面体系中的投影,投影面是可以无限扩展的，若把H面向后、V面向下扩展出H0 和V0，整个空间便被分成了四部分，每一部分称为一个分角，依次编为第、分角。,二、两投影面体
3、系及空间直角坐标系,1-1 点在两投影面体系中的投影,三、点的两面投影及其投影图画法,将点A 放在第分角中进行投射，向H 面投射得a，称为点A 的水平投影或H 面投影。将点A向V 面投射得a，称为点A 的正面投影或V 面投影。,1-1 点在两投影面体系中的投影,画法几何中规定：标记V 面投影，要在小写字母的右上角加一撇，如a；H面投影则不加一撇，如a。点A在空间的位置被其两个投影a 和 a唯一确定，因为两个投影反映了三个方向的坐标(xA，yA，zA)。点A可表述为A(a，a)。,三、点的两面投影及其投影图画法,1-1 点在两投影面体系中的投影,画投影图时，需要把互相垂直的两个投影面展开成一个平
4、面。画法几何规定两面体系的展开方法是：V 面不动，H 面绕OX 轴向下旋转90角。,三、点的两面投影及其投影图画法,1-1 点在两投影面体系中的投影,由于投影面是无限大的，在投影图中毋须画出其边界线。,投影面展开后，点A 的两投影a和a处于同一条垂直于OX 轴的直线上，此线称为投影连线，即 a a OX。,1-1 点在两投影面体系中的投影,点的两面投影规律：,(1)两投影的连线垂直于投影轴，即a a OX。(2)空间点的某一投影到投影轴的距离，等于该点到另投影面的距离,即 aaX=A a=yA，aaX=A a=zA。,1-1 点在两投影面体系中的投影,例1-1 点A 的坐标xA、yA、zA 分
5、别为5、3、4个单位，试画出点A的两面投影图。,解：,1-1 点在两投影面体系中的投影,例1-2,试画出例1-1中点 A 的立体示意图。,1-2 点在三投影面体系中的投影,确定点在空间的位置，如前所述，有两个投影就够了。但对于一些较复杂的形体，只有两个投影往往不能确定其形状。解决的办法是设置第三个投影面，构建三投影面体系，作出形体的第三个投影。,1-2 点在三投影面体系中的投影,一、三投影面体系的建立 在两面体系的基础上，包含OY 轴和OZ 轴作出第三个投影面侧立投影面（简称侧面），又称W 面。W 面与H、V 面相互垂直并一起构成三投影面体系，简称三面体系。W 面能反映前后、上下两个方向的尺度
6、。,1-2 点在三投影面体系中的投影,二、八个卦角 在扩展H、V 面的基础上，再扩展W 面，得到V 面后的W 面的扩展部分W0，从而把空间分成八个卦角（也称卦限）。W、W0 面的左方为第、卦角，右方为第、卦角，投影轴的指向即坐标轴的正方向。,1-2 点在三投影面体系中的投影,三、点的三面投影 把点A放在第卦角中进行投射。在H、V 面上得到了a、a，又从左向右投射，在W 面上得到点A的第三投影a，称为侧面投影或W 面投影。a反映了点A的y和z坐标，即a（yA，zA）。,1-2 点在三投影面体系中的投影,三、点的三面投影 aaZ=a aY=A a=xA，反映点A到W 面的距离；aaZ=a aX=A
7、 a=yA，反映点A到V 面的距离；aaY=aaX=A a=zA，反映点A到H 面的距离。用三个投影表达点A 的位置时，可写成A（a，a，a）。,1-2 点在三投影面体系中的投影,三、点的三面投影 与两面体系一样，实际画投影图时需要把三个投影面展开成一个平面。V 面不动，H 面绕OX 轴向下旋转90角，W 面绕OZ 轴向右旋转90角。此时OY 轴被“一分为二”，随H 面的轴记为OYH，随 W 面的轴记为OYW。,1-2 点在三投影面体系中的投影,三、点的三面投影 给出空间点的三个坐标，就可按前述点的投影规律画出点的三面投影图；反之，由点的三面投影图应能想象出点的空间的位置。点在三投影面体系中的
8、位置有：在各卦角间、在各投影面内和在各投影轴上等情况，它们都遵守相同的投影规律。,1-2 点在三投影面体系中的投影,四、由点的两个投影求作第三投影,分析点A的三个投影 a(xA,yA)、a(xA,zA)、a“(yA,zA)可知，三个投影中的任意两个，都包含有确定该点空间位置所必需的x、y、z 三个坐标，因此，由点的两个投影可以作出第三投影。,1-2 点在三投影面体系中的投影,例1-3 如图所示，已知点A的两个投影a 及a，求作a。,已知,求解利用分规量距离,求解利用圆规画弧,1-2 点在三投影面体系中的投影,例1-3 如图所示，已知点A的两个投影a 及a，求作a。,求解利用45分角线或45上斜
9、线作图,点击后自动演播,1-3 两点的相对位置和无轴投影图,一、两点的相对位置 通常判别两个点在空间的相对位置，是将其中一点作为基准点，判断另一点（即比较点）在基准点之左（或右）、之前（或后）、之上（或下）多少距离。反映在投影图中，是在确定了基准点的前提下，找出两点在同一投影面上投影的同名坐标值的代数差x、y、z。,1-3 两点的相对位置和无轴投影图,例1-4 已知两点的投影，试判断两点的相对位置。解：选定A(a,a,a)为基准点，B 为比较点，则有：x为正值，点B 在点A 之左；y为负值，点B 在点A 之后；z为正值，点B 在点A 之上。,一、两点的相对位置,1-3 两点的相对位置和无轴投影
10、图,二、点的重影及其可见性判断,当空间两点处在对某一投影面的同一条投射线上时，它们在该投影面上的投影便重合在一起。空间的这些点，称为对该投影面的重影点，重合在一起的投影称为重影。右图中，点A、B 是对H 面的重影点，a、b 则是它们的重影。,1-3 两点的相对位置和无轴投影图,二、点的重影及其可见性判断,在投影图中需要判断并标明重影的可见性，即标明沿投射方向“看”去，哪个点的投影是可见的，哪个点的投影是被遮挡而不可见的。重影a、b的可见性是从V面（或W 面）上的投影判断出来的：a高于b，所以a 可见，b不可见。通常在不可见的投影标记上加上括号。,1-3 两点的相对位置和无轴投影图,三、无轴投影
11、图,在辨认两点的相对位置时，起重要作用的是两点同面投影的坐标差，而与投影轴的位置无关。因此，对于不涉及点到投影面距离的作图问题，便可不画出投影轴。这种图就称为无轴投影图。,1-3 两点的相对位置和无轴投影图,例1-5 已知点A 的三个投影，如图所示，有一点B 在其右3、其前3、其下2个单位处，试画出点B 的三个投影。解：x=-3,y=3,z=-2,1-4 点的辅助投影,对于复杂的形体常需设置侧立投影面W，画出形体在W 面上的投影，以便更充分、准确地表明形体的形状。用H、V 和W 各面投影仍不足以准确表明形体的形状时，可以设置只与已知两投影面体系中的一个投影面相垂直的辅助投影面，作出形体在辅助投
12、影面上的投影，称之为辅助投影。,辅助投影面,1-4 点的辅助投影,一、点的辅助投影,在基本的 两投影面体系V/H中，有一个点A(a,a)。设置一个与H投影面垂直的辅助投影面 V1。V1面与H面交于O1X1。O1X1 称为辅助投影轴。V1面和H面也构成一个两投影面体系。将A点向V1 面作正投影，得V1面上的投影a1，a1 是A点的辅助投影。,1-4 点的辅助投影,一、点的辅助投影,有两个两投影面体系，一个是原有的体系(V/H)，其投影轴是OX;另一个是新设置的体系(V1/H),其投影轴是辅助投影轴O1X1，它们共有投影面H。O1X1的位置视辅助投影面V1的位置而定。辅助投影图上有：aa1O1X1
13、,ax1a1=axa。,1-4 点的辅助投影,根据点的原有投影作出其辅助投影的方法，可以表述如下：,自辅助投影面所垂直的原投影面上的投影，向辅助投影轴作垂线，与辅助投影轴交于一点，自交点起在垂线上截量一段距离，使等于原有的另一投影到原有投影轴的距离，即得点的辅助投影。这个关系习惯上简单说成是新投影到新轴的距离等于老投影到老轴的距离。,a1,1-4 点的辅助投影,如果设置辅助投影面H1 垂直于V 面，则辅助投影面H1与V面构成新的两投影面体系(V/H1)，新旧两体系共有投影面V。这时作点的辅助投影，仍要遵循前面所表述的作图规律。,1-4 点的辅助投影,二、点的复辅助投影,在基本的(V/H)体系中
14、设置辅助投影面V1后，再在(V1/H)体系中设置第二个辅助投影面H2 垂直于V1，H2 称之为复辅助投影面。,1-4 点的辅助投影,把A点正投射到H2面上，就得到了A点的复辅助投影a2。在(V1/H2)体系中根据(a,a1)作 a2 时仍然要遵循前面所表述的作辅助投影的规律。,1-4 点的辅助投影,当然也可以先设置辅助投影面H1垂直于V，构成投影面体系(V/H1)，然后设置复辅助投影面V2 H1，求复辅助投影的方法与前述类似。直线由两个点确定，平面由不在一直线上的三个点确定，求直线、平面的辅助投影和复辅助投影都可以归结为求点的辅助投影或复辅助投影。因此应透彻理解求点的辅助投影和复辅助投影的原理和熟练掌握其作图方法。,
