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1、1,二.相似矩阵的定义及性质,定义:,设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵，使得,则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵，,对 进行运算 称为对 进行相似变换，,可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。,或称矩阵 与矩阵 相似，记作,注：矩阵相似是一种等价关系,（1）反身性：,（2）对称性：若 则,（3）传递性：若 则,2,推论：若矩阵 与对角阵 相似，,则 是 的 个特征值。,3,其它的有关相似矩阵的性质：,(5),4,（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。,三.矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化）,5,（2）可逆矩阵 由 的 个线性无关的特征向量 作列向量构成。,6,例1:判断下列实
2、矩阵能否化为对角阵？,解:,得,7,得基础解系,当 时，齐次线性方程组为,当 时，齐次线性方程组为,8,得基础解系,线性无关,即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。,9,得基础解系,所以 不能化为对角矩阵.,当 时，齐次线性方程组为,10,解：,11,得基础解系,当 时，齐次线性方程组为,当 时，齐次线性方程组为,12,得基础解系,线性无关，,可以对角化。,令,则有,13,注意：若令,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应,则有,14,把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。,可对角化的矩阵主要有以下几种应用：,1.由特征值、特征向量反求
3、矩阵,例3：已知方阵 的特征值是,相应的特征向量是,15,解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 是3 阶方阵。,因为 有 3 个不同的特征值，所以 可以对角化。,即存在可逆矩阵,使得,其中,求得,16,17,2.求方阵的幂,例4：设 求,解：,可以对角化。,系数矩阵,令 得基础解系:,18,系数矩阵,令 得基础解系:,令,求得,即存在可逆矩阵,使得,19,20,3.求行列式,解：,方法1 求 的全部特征值，再求乘积即为行列式的值。,设,的特征值是,21,方法2：已知 有 个不同的特征值，所以 可以对角化，,即存在可逆矩阵,使得,22,4.判断矩阵是否相似,的特征值为,令,3阶矩阵 有3个不同的特征值，所以 可以对角化。,23,即存在可逆矩阵,使得,方法2：因为矩阵 有3个不同的特征值，所以可以对角化，,所以矩阵 能与对角阵相似。,24,例7：设 阶方阵 有 个互异的特征值，,阶方阵 与 有相同的特征值。,证：设 的n个互异的特征值为,则存在可逆矩阵,使得,25,所以存在可逆矩阵,使得,即,即存在可逆矩阵,使得,即 与 相似。,
