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1、主要内容,矩阵乘积的行列式,第三节 矩阵乘积的行列式与秩,矩阵乘积的秩,一、矩阵乘积的行列式,定理 1 设 A，B 是数域 P 上的两个 n n 矩,阵，那么,|AB|=|A|B|，(1),即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘,证明,这个定理就是第二章第八节的,积.,用数学归纳法，定理 1 不难推广到多个因子的,情形，即有,推论 1 设A1,A2,Am是数域 P 上的 n n,矩阵，于是|A1 A2 Am|=|A1|A2|Am|.,定义 9 数域 P 上的 n n 矩阵 A 称为非退,化的，如果|A|0；否则称为退化的.,显然，一 n n 矩阵是非退化的充分必要条件,是它的秩等于 n.,
2、推论 2 设 A，B 是数域 P 上的 n n 矩阵,矩阵 AB 为退化的充分必要条件是 A，B 中至少有,一个是退化的.,二、矩阵乘积的秩,关于矩阵乘积的秩，我们有：,定理 2 设 A 是数域 P 上的 n m 矩阵，B 是,数域 P 上的 m s 矩阵，于是,秩(AB)min 秩(A),秩(B).,即乘积的秩不超过各因子的秩.,(2),证明,为了证明(2)，只需要证明,秩(AB)秩(A)与 秩(AB)秩(B),同时成立即可.,现在来分别证明这两个不等式.,设,令 B1,B2,Bm 表示 B 的行向量，C1,C2,Cn,表示 AB 的行向量.,由计算可知，Ci 的第 j 个分量,和 ai1B
3、1+ai2B2+aimBm 的第 j 个分量都等于,因而,Ci=ai1B1+ai2B2+aimBm(i=1,2,n),即矩阵 AB 的行向量组 C1,C2,Cn 可经 B 的行向,量组线性表出.,所以 AB 的秩不能超过 B 的秩，即,秩(AB)秩(B).,同样，令 A1,A2,Am 表示 A 的列向量，D1,D2,Ds 表示 AB 的列向量.,由计算可知，,Di=b1iA1+b2iA2+bmi Am(i=1,2,s).,这个式子表明，矩阵 AB 的列向量组可以经矩阵 A,的列向量组线性表出，因而前者的秩不可能超过后,者的秩，这就是说，,秩(AB)秩(A).,证毕,用数学归纳法，定理 2 不难
4、推广到多个因子的,情形，即有,推论 3 如果 A=A1 A2 At,那么,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本
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