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1、第5章 矩阵特征值与特征向量的计算,n阶方阵A的特征值是特征方程 det(A-E)=0 的根.,Gerschgorin圆盘定理 设矩阵A=(aij)nn,记复平面上以aii为圆心,以ri=,为半径的n个圆盘为 Ri=aiiri,i=1,2,n,A的特征向量是齐次线性方程组(A-E)x=0 的非零解.,则(1)A的任一特征值至少位于其中一个圆盘内;(2)在m个圆盘相互连通(而与其余n-m个圆盘互不连通)的区域内,恰有A的m个特征值(重特征值按重数记).,试讨论A的特征值的分布.,解 由A确定的3个圆盘分别为,所以 315-222-63-2,例1 设矩阵,R1=-41,R2=2,R3=+42,x,
2、y,0,-2,-4,-6,2,3,4,5,实际上，1=4.20308,2=-0.442931,3=-3.76010,适当选取非奇异对角矩阵D=diag(d1,d2,dn),则矩阵D-1AD与矩阵A有相同的特征值,且对角元素相同.,而矩阵D-1AD对应的n个圆盘为,如上例,取D=diag(2,1,1),则有,可见，R1是独立的,所以可得3.514.5.,1 乘幂法和反幂法,1.1 乘幂法,乘幂法是用来求矩阵A按模最大的特征值和相应的特征向量的方法.,设A是单构矩阵,即A有n个线性无关的特征向量.,A的n个特征值为|1 2 n,对应的特征向量为 x1,x2,xn 线性无关.我们要求1 和 x1.,
3、乘幂法的基本思想是取初始向量v(0)Rn,作迭代 v(k+1)=Av(k)=Ak+1v(0),k=0,1,2,产生迭代序列v(k).,由于x1,x2,xn 线性无关,从而有 v(0)=a1x1+a2x2+anxn,故有 v(1)=Av(0),v(k)=Av(1),v(k)=Akv(0)=a11kx1+a22kx2+annkxn(5.1),=a11x1+a22x2+annxn,=a112x1+a222x2+ann2xn,1.设|12n,这时,(5.1)式可写成,若a10,则对充分大的k有,因而有,或取,而特征向量 x1 v(k).,乘幂法的收敛速度取决于|2/1|的大小.,求矩阵A的按模最大的特
4、征值,解 取v(0)=(1,0)T,计算v(k)=Av(k-1),结果如下,例2,可取0.41263,x1(0.017451,0.014190)T.,对非零向量v,用max(v)表示v的按绝对值最大的分量,称向量u=v/max(v)为向量v的规范化向量.,例如,设向量v=(2,1,-5,-1)T,则max(v)=-5,u=(-0.4,-0.2,1,0.2)T.可见规范化向量u总满足u=1.,乘幂法的规范化计算公式为:,任取初始向量u(0)=v(0)0,计算,由于,所以,又由,其收敛速度由比值|2/1|来确定,其值越小收敛越快.,所以,因此,当|k-k-1|时,可取:1 k,x1 u(k).,如
5、用规范化乘幂法解例2,仍取u(0)=v(0)=(1,0)T,则有,故可取 1 0.412627,x1(1,0.813138)T.,用乘幂法求A的按模最大的特征值和相应特征向量.,例3 设,解 取初值u(0)=v(0)=(1,1,1)T,计算得,可取 1 6.000837,x1(1,0.714316,-0.249895)T.,实际上,A的3个特征值分别为1=6,2=3,3=2.,2.设1=2=r,且|1r+1n,这时,(5.1)式可写成,若a1,a2,ar不全为零,则对充分大的k有,由于a1x1+a2x2+arxr 是对应1的特征向量,若仍记为x1,则有:v(k)1kx1,故前面的结论仍然成立.
6、,3.设1=-2,且|1=|2|3 n,这时,(5.1)式可写成,则对充分大的k有,v(2i)12i(a1x1+a2x2),v(2i+1)12i+1(a1x1-a2x2),于是有,x1v(k+1)+1v(k),x2v(k+1)-1v(k),对于规范化的幂法，由于,u(k+2)=v(k+2)/k+2=Au(k+1)/k+2,=Av(k+1)/k+1k+2=A2u(k)/k+1k+2,于是有,x1k+1u(k+1)+1u(k),x2k+1u(k+1)-1u(k),的按模最大特征值和相应的特征向量。,例4 用乘幂法求矩阵,解 取初始向量u(0)=v(0)=(1,1,2)T,计算可得,1.2 加速技术
7、,由于,所以,乘幂法收敛速度取决于比值|2/1|,当|2/1|1时,收敛是很慢的.,1.Aitken 加速方法,由(5.2)式可知,x2=13u(13)-1u(12)=(0,0.631924,0.631924)T.,x1=13u(13)+1u(12)=(4.315961,8.631924,8.631924)T,实际上,A的特征值为1=4,2=-4,3=1.,可见,序列k线性收敛于1.,会达到加速收敛的目的.,构造Aitken序列,如把Aitken加速方法用于例3,则有,2.原点位移法,作矩阵B=A-pE,则B的特征值为mi=i-p(i=1,2,n),而且对应的特征向量相同.,则对B应用乘幂法可
8、达到加速收敛的目的。,解 由于A的特征值为1=6,2=3,3=2,故取p=2.5,则B的特征值为m1=3.5,m2=0.5,m3=-0.5,则,如果选取p,使m1仍然是B的按模最大特征值，且满足,取初始向量u(0)=v(0)=(1,1,1)T,由规范化计算公式:,例5,用原点位移法求例3中矩阵A的按模最大的特征值和特征向量.,计算可得,这是因为|2/1|=1/2,而|m2/m1|=1/7,故对B应用乘幂法远比对A应用乘幂法收敛的快.,反幂法是求矩阵按模最小的特征值和相应特征向量的方法.,取,16+2.5=6.000102,x1u(6)=(1,0.714287,0.249995)T,1.3 反幂
9、法,设A是n阶非奇异矩阵,其特征值为,|1|2|n-1|n|0,对应的特征向量为x1,x2,xn,则有A-1的特征值为,对应的特征向量为xn,xn-1,x1.,要想求n和xn只需对A-1应用乘幂法,任取初始向量u(0)=v(0)0,作,也可将上式改写成,式(5.3)称为反幂法.显然有,每一步求v(k)需要求解线性方程组,可采用LU分解法求解.,反幂法还可结合原点位移法应用.设已求得矩阵A的特征值i的某个近似值,对B应用反幂法可求出精度更高的i和xi.,设已求得例3中矩阵A的特征值的近似值16.003,和相应的特征向量x1(1,0.714405,-0.249579)T,试用带原点位移的反幂法求1
10、和x1的更精确的值.,作原点位移,令B=A-E,则B的特征值为,例6,解 取p=6.003,作矩阵B=A-6.003E,则,取初始向量u(0)=(1,0.714405,-0.249579)T,对B用反幂法计算可得:,可见收敛速度非常快,这是因为B的3个特征值为1=-4.003,2=-3.003,3=-0.003,|3/2|0.000999很小.,Jacobi方法是求实对称矩阵全部特征值和特征向量的一种矩阵变换方法。,2 Jacobi 方法,实对称矩阵A具有下列性质：,（1）A的特征值均为实数；,（2）存在正交矩阵R，使RTAR=diag(1,2,n),而,R的第i个列向量恰为i的特征向量;,直
11、接求正交矩阵R是困难的.Jacobi提出用一系列所谓平面旋转矩阵逐次将A约化为对角矩阵.,平面解析几何中的平面坐标旋转变换,表示平面上坐标轴旋转角的变换.,（3）若记A1=RTAR,则A1仍为对称矩阵.,2.1 平面旋转矩阵,在三维空间直角坐标系中,ox1y1平面绕着oz1轴旋转角的坐标变换为,Rpq()具有下列性质:,一般地,在n维向量空间Rn中,沿着xpyq平面旋转角的变换矩阵为,称Rpq()为平面旋转矩阵.,设实对称矩阵A=(aij)nn,记B=RpqT()ARpq()=(bij)nn则它们元素之间有如下关系:,（1）Rpq()为正交矩阵,即Rpq-1()=RpqT();,（2）如果A为
12、对称矩阵,则RpqT()ARpq()也为对称矩阵,且与A有相同的特征值.,（3）RpqT()A仅改变A的第p行与第q行元素,ARpq()仅改变A的第p列与第q列元素.,所以有,从而,有(5.5)、(5.6)式可得,如果apq0,适当选取角,使,只需角满足,从而,如果取|apq|=,若记,于是,则上式可记为,由式(5.7),令t=tan,则t满足方程,t2+2t-1=0,经典Jacobi算法是对A(0)=A施行一系列平面旋转变换:,为保证|/4,取绝对值较小的根,有,于是,2.2 Jacobi 方法,A(1)=R1TA(0)R1,A(2)=R2TA(1)R2,A(k)=RkTA(k-1)Rk,每
13、一步变换选择A(k-1)=(aij(k-1)nn 的非对角线元素中绝对值最大者apq(k-1)(称为主元素)作为歼灭对象,构造平面旋,是给定的精度要求,则A的特征值可取为iaii(k),i=1,2,n.,转矩阵Rk=Rpq(),经变换得到A(k)=(aij(k)nn,且apq(k)=0,这时由(5.8)式有,从而,由此递推得到,当k充分大时,或者(A(k),或者,另外,由于 A(k)=RkTA(k-1)Rk=RkTRk-1TR1TAR1R2Rk=RTAR,的全部特征值.,解 记 A(0)=A,取p=1,q=2,apq(0)=a12(0)=2,于是有,因此,R=R1R2Rk 的列向量xj(j=1
14、,2,n)为A的近似特征向量.,例7 用Jacobi 方法计算对称矩阵,从而有,所以,再取p=2,q=3,apq(1)=a23(1)=2.020190,类似地可得,以下依次有,从而A的特征值可取为 12.125825,28.388761,34.485401,为了减少搜索非对角线绝对值最大元素时间,对经典的Jacobi方法可作进一步改进.,1.循环Jacobi方法:按(1,2),(1,3),(1,n),(2,3),(2,4),(2,n),(n-1,n)的顺序,对每个(p,q)的非零元素apq作Jacobi变换,使其零化,逐次重复扫描下去,直至(A)为止.,2.过关Jacobi方法:取单调下降收敛于零的正数序列k,先以1为关卡值,依照1中顺序,将绝对值超过1的非对角元素零化,待所有非对角元素绝对值均不超过1时,再换下一个关卡值2,直到关卡值小于给定的精度.,练习题,第131页 习题55-1,5-5,5-7,5-9(2),5-10,Jacobi方法具有方法简单紧凑,精度高,收敛较快等优点,是计算对称矩阵全部特征值和相应特征向量的有效方法,但计算量较大,一般适用于阶数不高的矩阵.,课间休息,
