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1、数 值 分 析Computational Method,Chapter 8 矩阵特征值的计算,第8章 矩阵特征值的计算81 引言,矩阵特征值的一些性质。确定矩阵特征值 及相应特征向量，通常有两条途径：（1）设法求出特征多项式 及其零点，但，由于特征值经常对特征多项式的系数很敏感，即当系数有稍许偏差，往往导致特征值有较大的偏离。除对少数特征矩阵外，一般不用。（2）根据问题的特点和要求，对矩阵实施某种运算或变换（如乘幂法、相似变换）达到求矩阵的模最大（小）的特征值，部分的特征值或全部的特征值。,82 幂法及反幂法1.幂法,幂法是一种计算矩阵主特征值（矩阵按模最大的特征值）及相应特征向量的迭代解法，
2、特别适用于大型稀疏矩阵。设矩阵 有，则 称为 的特征值，称为对应于 的特征向量。,设有n个线性无关的特征向量组:,而,是相应的特征值.,设(1),任意初始向量,若(2),是,重根:,则,是特征向量,规范化幂法,为了克服”溢出”,采用规范化作法:,其中:,一般:,则:,证明,绝对值最大分量中的最小下标.,证明,一般:,例 求A的特征值和特征向量.,解,2.加速方法(原点平移法),设 的特征值为 则:,使用幂法,取 计算 得到加速.,使用幂法,取 计算 得到加速.,2.反幂法,反幂法用于(1)计算矩阵按模最小的特征值及相应的特征向量;(2)已知某近似特征值的特征向量。,反幂法计算公式:,注(1)第一步可解方程:注(2)可用 来加速.,例 用反幂法求矩阵A的最接近 的特征值和特征向量.,解,其中:,计算公式:,8.3 Q-R算法,前述矩阵A有Q-R分解.Q是正交阵,R是上三角阵.,Q-R算法是计算矩阵的所有特征值的 现代化方法。,设,再设,又,一般:,可证:即 的对角元收敛于 的特征值.,
