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1、数值分析,李小林 重庆师范大学数学学院,Numerical Analysis,第八章 矩阵特征值计算/*Computational Method of Eigenvalue Problem*/,本章主要介绍矩阵的特征值和特征向量的计算方法。,物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、机械的振动、电磁震荡等)，物理学中的某些临界值的确定，及一些稳定性分析和相关分析。,1 特征值性质和估计,由上述定理结论可知A的三个特征值位于三个圆盘的并集中，,所以D1内恰包含A的一个实特征值,由于D1是孤立的所以，,问题：如何进一步估计上面两个特征
2、值分别在什么范围？,解决途径：若能够改变圆盘的半径，则 有可能将圆盘进行分离，从而可进一步分析特征值的范围.,事实上，利用相似矩阵的性质，可使A的某些圆盘半径及连通性发生变化.,具体实施?,对上边同一例题,2 幂法与反幂法/*Power Method and Reversed Power Method*/,幂法是计算一个矩阵的模最大的特征值和对应的特征 向量的一种迭代方法（又称为乘幂法）。,一、幂法,计算矩阵的主特征值（按模最大）及其特征向量,设,越小，收敛越快,当 k 充分大时，有,又,(j=1,2,.,n),vk 为 1 的近似特征向量,注：幂法的收敛速度取决于 的大小,幂法中存在的问题,
3、1 的计算,改进的幂法,(1)任取一个非零向量 v0，要求满足(x1,v0)0(2)对 k=1,2,.，直到收敛，计算,幂法迭代算法：,解：,Step0,Step1,Step2,Step3,特征值及相应的特征向量精确值为:,两种特殊情况,幂法的加速,幂法的收敛速度取决于 的大小,令 B=A pI，则 B 的特征值为：i-p,Rayleigh 商加速,(1)任取一个非零向量 v0，要求满足(x1,v0)0(2)对 k=1,2,.，直到收敛，计算,二、反幂法,反幂法是求一个矩阵的模最小的特征值和对应的特征 向量的一种迭代方法（又称为反迭代法）。,设，则,不妨假设 的特征值为,则 的特征值为,反幂法
4、算法：,若 和 均收敛，由幂法知,反幂法的加速,可以使用原点平移法对反幂法进行加速,带位移的反幂法：,实际应用中，反幂法主要用于求特征向量。,且用某种方法已经得到 的特征值 的近似值,对矩阵 采用反幂法迭代格式为：,记,假设 的特征值满足,求解方程组 化为：,带位移的反幂法迭代格式：,设矩阵 存在Doolittle分解：,解：,其中,Step0,反幂法具有一次“迭代性”,Step1,所求近似特征向量为：,3 Jacobi方法,Jacobi法：计算实对称矩阵全部特征值和相应特征向量,基本思想:通过一次正交变换，将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小。反复进行上述过程，使变换
5、后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征值和特征向量。,基于以下两个结论:,矩阵的旋转变换,Jacobi方法,4 Householder变换,本节讨论下面两个问题：,(1)用初等反射阵作正交相似变换约化一般实矩阵A为上Hessenberg阵。,(2)用初等反射阵作正交相似变换约化对称矩阵A为对称三对角阵。,于是，求原矩阵特征值问题，就转化为求上Hessenberg阵或对称三对角阵的特征值问题。,Def:称下述形状的矩阵为上Hessenberg矩阵,Def:若上Hessenberg矩阵的次对角元素均不为零，则称之为不可约的上Hessenberg矩阵。,一、正交
6、相似变换约化一般矩阵为上Hessenberg阵,二、正交相似变换约化对称矩阵为对称三对角阵,Householder约化对称阵为对称三对角阵的算法,5 QR方法,对于一般矩阵A(或对称矩阵)，先用Householder方法将A化为上Hessenberg阵H(或对称三对角阵)，然后再用QR方法计算H的全部特征值。,目前QR方法主要用来计算：,(1)上Hessenberg阵的全部特征值问题;,(2)计算对称三对角矩阵的全部特征值问题。,一、QR基本迭代方法,Schmit正交化方法,基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解与矩阵乘法，计算量大，而且收敛速度慢。因此实际使用的QR方法是先用一系列矩阵相似变换将 A 约化成上Hessenberg 矩阵，然后对此矩阵用基本QR方法。因为上Hessenberg矩阵具有较多零元素，故可减少运算量。化A为相似的上Hessenberg阵的方法有多种，下面介绍单步QR方法。,二、用单步QR方法计算上Hessenberg阵特征值,
