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1、,高等院校非数学类本科数学课程,大 学 数 学（3）,第四讲 矩阵的初等变换,脚本编写：彭亚新,教案制作：彭亚新,线性代数,第二章 矩阵理论,第二节 矩阵的初等变换,本节教学要求：,理解矩阵初等变换的概念。知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联系。能熟练地运用初等变换将矩阵化为标准形和阶梯形。理解矩阵的秩的概念。知道初等变换不改变秩的原理。能熟练地计算矩阵的秩。,一.矩阵的标准形、阶梯形,二.矩阵的秩,三.矩阵的初等变换,第二节 矩阵的初等变换,四.初等矩阵,一.矩阵的标准形、阶梯形,1.矩阵的标准形,2.阶梯形矩阵,二.矩阵的秩,解,解,解,解,解,三.矩阵的初等变换,高斯消元法反映在矩阵
2、的运算上为:,对“行”施行的变换称为“行变换”;,对“列”施行的变换称为“列变换”。,矩阵的初等变换是可逆的。,定理获证,解,四.初等矩阵,初等矩阵的类型 产生过程,初等矩阵的类型 产生过程,初等矩阵的类型 产生过程,行左列右,高 斯J.C.F.Gauss1777 1855,高斯是18世纪末与19世纪初最伟大的德国数学家，他的贡献遍及纯粹数学和应用数学的各个领域。高斯的名字是数学告别传统数学，走向现代数学的时代象征。“如果我们把 18 世纪的数学家们想象为一系列的崇山峻岭，那么最后一座令人肃然起敬的颠峰就是高斯。”高斯被认为是历史上出现的少有的神童。,据传说，高斯在三岁时就能发现父亲作帐时的错
3、误。高斯 7 岁入学，学习十分刻苦，常常在小油灯下演算到深夜。十岁时他的超群的数学思维能力就已显现出来。在当地公爵的资助下，不满15岁的高斯进入卡罗琳学院。他很快就掌握了微积分理论，并在最小二乘法和数论的二次互反律的研究中取得成果，从而开始了他,的数学创造生涯。1795年高斯来到哥廷根大学学习。19岁时，他解决了仅用直尺和圆规作出正17边形的数学难题，轰动了当时的整个数学界。22岁高斯证明了当时许多数学家想证而不会证明的代数基本定理，为此他获得了博士学位。1807年高斯在哥廷根大学担任数学和天文学教授，并任该校天文台台长。高斯被认为是非欧几何学的创始人之一，这是因为他是最先认识到非欧几何可以用
4、来描述物质空间的数学家。高斯从15岁时（1792年）就认识到能够存在一种逻辑几何思想，在其中欧几里得的平行公理不成立。1799年底，高斯开始相信欧几里得的平行公理不能从其余的公理中推出。1813年高斯进一步发展了他的新几何，并称之为反欧几里得几何，后又称之为星空,几何，最后才称为非欧几里得几何，简称为非欧几何。高斯深信非欧几何在逻辑上是相容的，是能够实际应用的，并专门进行了实际测量。高斯生前关于非欧几何的笔记、信件等一直没有发表。他的“宁可少些，但要好些”的信条使他对自己的发现力求尽善尽美。他认为对非欧几何的研究还未能达到这一点，所以一直不愿意发表这方面的研究成果。直到1855年高斯去世后，这
5、些有关非欧几何的研究的成果才被收入到高斯文集中出版，而这已是后来公认的非欧几何创始人罗巴切夫斯基（俄国人，数学硕士，喀山大学的校长）和鲍耶（高斯的大学同学、密友，匈牙利人）发表研究成果30年以后的事了。,高斯在数学王国里处处留芳，在数学的许多领域内都有卓越的建树：数论、超几何级数、复变函数论、椭圆函数论、统计数学、向量分析、微分几何（只是他将数学应用于实际时的产物）等等。高斯花费较多的时间和精力研究数论，他认为“数学是科学之王，数论是数学之王”。他在数论方面的研究工作对数论的发展影响深远。19世纪，德国在代数数论方面取得突飞猛进的发展，是与高斯的贡献分不开的。高斯除了进行纯粹数学研究外，还十分
6、重视数学的应用。他的大量的著作都与天文学、大地测量学、物理学有关。19世纪的第一个凌晨，天文学家皮亚齐发现了一颗无尾彗星，为了确定这一发现，他一连追踪观察了41天后因疲劳过度而病倒。,当皮亚齐将观测结果告诉其他天文学家时，这颗无尾彗星已在太空中消逝得无影无踪。高斯（24岁）得知后，经过几个星期的苦心钻研，创建了行星轨道计算方法，根据计算结果重新找到了这颗无尾彗星，显示了数学的威力。高斯在电磁学、光学方面也有杰出的贡献。高斯与韦伯共同享有电磁波发明者的殊荣。此外，磁通量密度单位就是以高斯的名字命名的。高斯是一位严谨的科学家，工作刻苦、踏实，精益求精，对待研究的结果始终是十分慎重的。他生前只发表了
7、155 篇论文，还有大量的研究成果没有发表。在清理高斯的遗物时人们发现，后来研究的许多数学成果是高斯早在半个世纪前就已经研究过了。由于高斯的过于谨慎和不轻易发表研究结果，使得,他对当时数学的发展没有作出应有的贡献，产生应有的影响。他与青年数学家缺少接触，缺乏思想交流，在他的周围没有形成一个人才济济，思想活跃的学派。例如，他称赞当时的青年数学家阿贝尔、狄里克雷等的工作，却对他们的信件和文章表现冷淡。尽管如此，高斯仍是德国经典数学的奠基人。德国的数学到了魏尔斯特拉斯和希尔伯特时代才形成了柏林学派和哥廷根学派，成为世界数学的中心。高斯一生勤奋好学，多才多艺，喜爱音乐和诗歌。擅长欧洲语言，懂得多个国家
8、的语言。62岁开始学习俄语，达到能用俄文写作的水平。晚年还在学习梵文。,高斯的一生是不平凡的一生，几乎在数学的每一个角落里都有他的足迹。后人常用他的事迹和格言来鞭策自己。一百多年来，不少有才华的青年在高斯形象的影响下成长为杰出的数学家，并为人类的文化作出了巨大的贡献。高斯于1855年2月23日逝世，终年78岁。他的墓碑朴实无华，仅镌刻“高斯”二字。墓地位于哥廷根附近。为了纪念高斯人们将他的故乡布伦瑞克改名为高斯堡；哥廷根大学为高斯建立了一个以正17棱柱为底座的纪念像；在慕尼黑博物馆的高斯画像上写上了这样的诗句：他的思想深入数学、空间、大自然的奥秘，他测量了星星的路径、地球的形状和自然力。他推动了数学的进展，直到下一个世纪。,
