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1、第三章 线性代数问题的MATLAB求解,主要内容,3.1.矩阵及其运算,3.2.矩阵的初等变换与线性方程组,3.3.矩阵的对角化,3.1.矩阵及其运算,矩阵的算术运算,MATLAB中矩阵的基本运算有+,-,*,/（右除）,（左除）,（乘方）,1、矩阵的线性运算,两个矩阵A,B,A+B和A-B的运算规则是：若两个矩阵的维数相同，则可以执行加减运算，相应的元素相加减，如果尾数不相同则出错。,2、矩阵的乘法,设两个矩阵A,B分别为m*n和n*p的矩阵，则C=A*B为m*p的矩阵,3、矩阵的除法（mldivide 和mrdivide/）,如果两个矩阵A,B是非奇异的，则AB和A/B运算都可以实现。AB
2、等价于inv(A)*B,A/B等价于A*inv(B)对含有标量的运算，两种除法运算的结果相同3/4和4/3都是0.75,4、矩阵的乘方,一个矩阵的乘方运算可以表示成Ax，其中A为方阵，x为标量。,5、点运算,两个矩阵进行点运算是指他们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同,6、矩阵的转置 使用单引号 即可,方阵的行列式,方阵A的行列式对应的求值函数为det(A),矩阵的逆矩阵,对于一个可逆的方阵A，求解函数为inv(A)对于普通矩阵A，求伪逆的函数为pinv(A),应用实例-投入产出模型,问题描述：国民经济各部门之间存在相互依存的关系，每个部门在运转中将其他部门的半成品（称为投入）经过
3、加工变为自己的产品（产出），如果根据各部门间的投入产出关系，确定各部门的产出水平以满足社会需求。,设国民经济由农业、制造业、服务业三个部门构成，关系如下表（3-1）：单位(亿元),三个部门的投入产出表如下（表3-2）：单位(亿元),如第一行第二列的数字0.10表示生产1个单位产值的制造业产品需要投入0.10个单位产值的农产品，由表3-1中20亿元农产品投入制造业可以产出200亿元制造业总产值，20/200=0.1。该表中的数字称为投入系数或消耗系数。,需要解决的问题：,1、如果今年对农业制造业和服务业的外部需求分别为50亿元、150亿元、100亿元，问这个三个部门的总产出分别是多少？2、如果三
4、个部门的外部需求分别增加1个单位，问他们的总产出应分别增加多少？3、投入产出分析称为可行的，如果对于任意给定的、非负的外部需求，都能得到非负的总产品。为了可行，投入系数应该满足什么条件？,模型建立：设有n个部门，记一定时期内第i个部门的总产出为xi,其中对第j个部门的投入是xij,外部需求为di,则：,（1）,表3-1的每一行都满足(1)式，投入系数记为aij，即为第j个部门的单位产出所需要的第i个部门的投入：,（2）,由(1)和(2)式得到,（3）,记投入系数矩阵,产出向量,需求向量,(3)式可写为：,（4）,或,（5）,当投入系数A和外部需求d给定后，求线性方程组(5)即可得到各部门的总产
5、出x。,问题(1)的解答：,编写MATLAB程序：a=0.15 0.1 0.2;0.3 0.05 0.3;0.2 0.3 0;d=50 150 100;b=eye(3)-a;x=bd,问题(2)的解答：由方程（5）可得到：,（6）,表明总产出x对外部需求是线性的，所以当d增加1个单位时（d），x的增量是,若农业的外部需求增加1个单位，即d=(1,0,0)T，x为(I-A)-1,的第1列。制造业和服务业同样处理。则可以直接使用求逆命令得到dx=inv(b),求得到的数字称为部门关联系数。,问题(3)的解答：,要使对任意的需求d0，（6）式总能得到总产出x0,显然只需要(I-A)-10，由：,且A
6、0，所以只要：,就有：,由矩阵范数的性质可知,与,等价，且,故只要,即：,（7）,投入产出就是可行的。,由（2）式可知(7)式等价于：,（8）,只要初始投入非负，（8）式自然成立。,3.2.矩阵的初等变换与线性方程组,3.2.1 行最简形,将矩阵初等变换成行最简形的函数为rref(A)，其中单位向量对应的列向量为最大线性无关组所含向量，其它列向量的坐标为其对应向量用最大线性无关组线性表示的系数。,3.2.2 矩阵的秩与迹,矩阵中行（列）向量组的最大线性无关的向量的个数称为矩阵的秩，rank(A)矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和，trace(A),解 编写Matlab程序
7、如下 format rat%数据是有理分数表示a=1,-2,-1,0,2;-2,4,2,6,-6;2,-1,0,2,3;3,3,3,3,4;b=rref(a)format%恢复到短小数的显示格式,线性方程组的解,对于线性方程组Ax=b,当b=0时为齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组,1、齐次线性方程组的求解,齐次线性方程组Ax=0的解得判定定理：（1）当rank(A)=n时，方程有唯一解，且x=0;（2）当rank(A)n时，方程有无穷多组解，即存在非零解，基础解系的个数为n-rank(A),求基础解系的语句为null(A,r)(有理基),例题1：,解 编写程序如下 format rat
8、a=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3 b=null(a,r)%求有理基 syms k1 k2 x=k1*b(:,1)+k2*b(:,2)%写出方程组的通解 format%恢复到短小数的显示格式,2、非齐次线性方程组的求解,非齐次线性方程组Ax=b的解得判定定理：（1）当m=n,且rank(A)=rank(A|b)=n时，方程组Ax=b有唯一解，x=inv(A)*b（2）当rank(A)=rank(A|b)n时，方程组有无穷多解，此时可用null(A,r)求出对应方程的基础解系，再用pinv(A)*b求出一个特解，则可以获得最后的通解；（3）当rank(A)不等于rank
9、(A|b)时，方程组无解。,例题1：,例题2：,例题3：,3.3.矩阵的对角化,3.3.1 求矩阵的特征值和特征向量,计算矩阵A的特征值和特征向量的命令eig有三种调用格式：,（1）E=eig(A)求矩阵A的全部特征值，构成向量E（2）V,D=eig(A)求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，求出A的特征向量构成V的列向量。先对A做相似变换后再求A的特征值和特征向量。（3）V,D=eig(A,nobalance)相对第二种格式，直接求矩阵A的特征值和特征向量。,例题1：,注：A=compan(p)返回相应的第一行为-p(2:n)/p(1)的伴随矩阵，p是多项式系数向量，compan(p)的特征值
10、是多项式p的根。例如：,例题2：,特征值,3.3.2 实对称阵的对角化,对于某方阵A，如果存在一个可逆阵P,使得P-1AP=B,称B为A的相似变换矩阵。相似变换后A的秩，迹，行列式和特征值都不发生变化。当A为实对称矩阵时，总存在一个正交矩阵P，使得P-1AP=B，其中B是由A的特征值置于主对角线上构成的方阵。MATLAB中求解正交矩阵的函数为Q=orth(A),例题1：设A=0 1 1;1 0 1;1 1 0,求一个正交矩阵P使P-1AP为对角阵。,3.3.3 二次型及其标准型,n元二次齐次函数：,为二次型，且f=xAx，其中,称：,为二次型的标准型。二次型的标准化实质上是对应的实对称矩阵的对角化。,例题1：求一个正交变换x=py,将如下二次型化成标准型:,解：首先写出对应的实对称阵A=1 0-1;0 2 0;-1 0 1,需要对p补充一个列向量0.7071;0;0.7071使之成为正交矩阵。或者利用v,d=eig(A)得到v。,
