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1、第八章 矩阵的特征值与特征向量的数值解法,8.1 乘幂法8.2 反幂法,某些工程计算涉及到矩阵的特征值与特征向量的求解。如果从原始矩阵出发，先求出特征多项式，再求特征多项式的根，在理论上是无可非议的。但一般不用这种方法，因为了这种算法往往不稳定.常用的方法是迭代法或变换法。本章介绍求解特征值与特征向量的一些方法。,引 言,8.1 乘幂法,乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求特征值的一种迭代法，它适用于求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。定理81 设矩阵 有n个线性无关的特征向量Xi（i=1,2,n），其对应的特征值 i(i=1,2,n)满足|1|2|n|则对任何n维非零初始向量Z0,构造Zk
2、=AZk-1(k=1,2,)有（81）其中(Zk)j表示向量Zk的第j个分量。,证明：只就i是实数的情况证明如下。因为A有n个线性无关的特征向量 所以任何非零向量 都可用 线性表示,即 用A构造向量序列 其中(8.2),将（8.3）与（8.4）所得Zk及Zk-1的第j个分量相除，设10，并且注意到|i|1|(i=1,2,n)得,证毕,定理81的证明过程实际上是给出了矩阵的按模最大特征值的计算方法：1)先任取一非零向量Z0,一般可取 Z0=(1,1,1)T；2)按（8.2）式计算；3)当K足够大时,即可求出,为了减少 对于所选的第j个分量的依赖性,还可用各个分量比的平均值来代替,即,关于对应于1
3、的特征向量的计算：由（8.1）知，当k充分大时，Zk=Zk-1，又由迭代式Zk=AZk-1，可知AZk-1=Zk-1故由特征值定义知Zk-1即为 对应的特征向量，或Zk=Zk-1为 对应的特征向量。这种求矩阵的按模最大特征值及其对应特征向量的方法称为乘幂法。,应用乘幂法计算A的按模最大特征值1和对应特征向量时,由（8.3）易知,当|1或|1时,Zk中不为零的分量将会随K的增大而无限增大,或随K的增大而趋于零，用计算机计算就会出现“上溢”或“下溢”。为了克服这个缺点,常将迭代向量Zk先规范化，然后再计算，具体做法是：,用max(Z)表示向量Zk的绝对值最大的分量，任取一初始向量 构造与（8.2）
4、对应的向量序列。,（8.6）,由（8.3）可知,由（8.3）和（8.6）,也就是说,在满足定理的条件下,规范化的向量序列Yk仍收敛到A的按模最大特征值对应的特征向量；而向量序列Zk的绝对值最大的分量收敛到A的按模最大的特征值1。,8.2 反幂法,反幂法可以计算矩阵按模最小的特征值及对应的特征向量。设 为非奇异矩阵，则 存在。若A的特征值（i=1,2,n）满足,|1|2|n|0,对应的特征向量为X1,X2,Xn。因为AXi=iXi，所以A-1Xi=(1/i)Xi，即(1/i)（i=1,2,n）是A-1的特征值，它满足,对应的特征向量仍是Xi（i=1,2,n）。,这就是说,计算A的按模最小的特征值 只要计算A-1按模最大的特征值,从而，而求A-1的按模最大的特征值只须应用前述的乘幂法即可。,所以反幂法的选代向量是：设初始向量,于是,
