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1、一、内容小结：,第四章 习题课,1、矩阵的特征值与特征向量,定义4.2 设A为n阶矩阵,含有未知量的矩阵I-A称为A的特征矩阵,其行列式|I-A|为的n次多项式,称为A的特征多项式,|I-A|0称为A的特征方程。,求特征值和特征向量的步骤：,1）计算A的特征多项式|I-A|2）求出特征方程|I-A|0的全部特征值对每个特征值 0，求出相应的齐次线性方程组(0I-A)x=0的一个基础阶系1,t，则A的关于 0的特征向量为：c11+ctt,命题2：矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的 任一特征值不为零。,特征值与特征向量的性质：,定理4.1：n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.,补充性质,2、相
2、似矩阵,自反性：AA.对称性：AB则BA.传递性：若AB及BC,则AC.,定理4.4:如果n阶矩阵A,B相似，则它们有相同的特征值。但逆命题不成立,1）相似矩阵有相同的秩,2）相似矩阵的行列式相等。,3）相似矩阵或都可逆，或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆也相似。,相似矩阵的性质:,矩阵与对角矩阵相似的条件,是充分条件，而不是必要条件,3、实对称矩阵得特征值和特征向量,向量内积,2、内积的性质,正交向量组,定理4.8 中 的正交向量组必线性无关,注意：无关向量组未必是正交向量组。,正交矩阵,定义4.9：设n阶实矩阵，满足 QTQ=I 则称Q为正交矩阵,1)若Q为正交矩阵,则其行列式的值为1或-
3、1;若Q为正交矩阵,则Q可逆,且Q-1=QT;若P、Q为正交矩阵,则它们的积PQ也是 正交矩阵.,正交矩阵的性质：,定理4.9:设Q为n阶实矩阵，则Q为正交矩阵 Q的列(行)向量组是单位正交向量组.,单位正交向量组也称标准正交向量组,实对称矩阵的特征值和特征向量,定理4.10 实对称矩阵的特征值都是实数。,定理4.11 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征 向量是正交的。,推论：n阶实对称矩阵有n个实特征根（重根按重数计算）,定理4.12 设A为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q 使Q-1AQ为对角矩阵。,一、求矩阵的特征值与特征向量;及相关的简单证明题,主要问题：,例2、已知A的特征值及相应的特征向量为x，P是可逆矩阵，则P-1AP的特征值为，P-1AP的特征向量为。,例4、已知:1 2是A的两不同特征值,相应的特 征向量为x1 x2，证明：ax1+bx2不是A的特征向量,(a,b为非零常数),例5、A和B均为n阶非零矩阵，且满足A2+A=0,B2+B=0,AB=BA=0,证明：1）=-1必为A和B的特征值。2)如x1,x2是A和B的特征值=-1的特征向量，则x1,x2线性无关。,二、矩阵的相似对角化 求矩阵的相似对角矩阵及变换矩阵，相关问题的证明。,三、关于向量的内积、长度、正交化、单位化,四、正交相似对角化和正交矩阵求矩阵的正交相似对角矩阵，相关的证明。,
