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1、1,工程数学6,教学处 邹斌,2,本章要点,方阵的特征值与特征相似矩阵实对称矩阵标准二次型,3,一、方阵特征值与特征向量,设(1)为阶方阵，若存在数和n维非零向量x，使得 则称数为的特征值，称x为相应于特征值的特征向量。注：特征向量必为非零向量。,4,例如，设,所以2为x的特征值，为A相应于2的特征向量。,5,特征值与特征向量的求法,特征值的求法：求特征方程 的根；,特征向量的求法：求齐次线性方程组 的非零解，称为矩阵A的相应于特征值的特征向量。,6,例1、求A的特征值和全部特征向量,7,8,9,10,解题步骤,1、写出A的特征多项式|IA|=f()2、求出f(x)的全部根1,2,t,它们就是
2、A的全部特征值3、把每个特征值i(i=1,2,t)代入方程组(IA)X0,并求出其基础解系，这样就可求出A的属于i的所有特征向量,11,有关性质,（1）n阶方阵n个特征值之和等于方阵对角线元素之和（称为迹）。（2）n阶方阵n个特征值之乘积等于方阵的行列式值。（3）若为方阵A特征多项式的k重根，则A相应于的特征向量线性无关的个数不会超过k，即有可能相等，有可能小于。（4）任一方阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的。由此结论知，方阵A所有特征向量中线性无关的总数为对应于每个特征值的线性无关特征向量个数之和。,12,(5)若是矩阵A的特征值，x是A是属于的特征向量，则有：,13,二、相似矩阵,设
3、 A,B都是n阶方阵，若有可逆方阵P,使 P-1 AP=B则称B是A的相似矩阵，或说A和B相似，记为A B，对A进行运算P-1 AP称为对A进行相似变换，其中可逆阵P称为相似变换矩阵。定理：相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。,14,对角化,简称方阵A能对角化（i为A的特征值）定理：n方阵A可对角化 A具有n个线性无关的特征向量推论：（1）若A有n个不同的特征值，则A可对角化。（2）若特征多项式|IA|无重根（有n个不同的根），则A可对角化。,15,三、实对称矩阵对角化,定理：实对称矩阵的特征值必是实数，且其一定可以对角化。,16,例1、矩阵A能否对角化？若能，求出与其相似的对角阵
4、。,解：由于A是实对称阵，故一定可以对角化，且与A相似的对角阵必是A的特征值为对角元素。,17,18,当n阶矩阵A有个线性无关的特征向量时，A被它的特征值和特征向量唯一确定，即一定有A=P P-1其中P是以特征向量为列向量的方阵，是以特征值为对角线元素的对角阵。,19,正定阵,定义1：设n阶实方阵,20,定义2：若n阶方阵A满足ATA=I,则称A为正交阵。,例：若A是正交矩阵，试证AT也是正交矩阵。证明：由A 是正交矩阵，则ATA=I 即AT=A-1 所以 ATA=A-1A=I 故AT也是正交矩阵,21,四、二次型,把变量 的二次齐次多项式,称为n元二次型。,22,利用矩阵的乘法，可把二次型确
5、切地用矩阵表示为,23,标准二次型,只有平方项而没有交叉乘积项的二次型，即,称其为二次型的标准形。,24,例1、用配方法将二次型,化为标准型，并求出所作的满秩变换,25,26,例2、用配方法将二次型,化为标准型，并求出所作的满秩变换（06.1）,27,28,例3、用配方法将二次型,化为标准型，并求出所作的满秩变换（05.7）,29,30,31,配方法的注意事项,（1）每次只对一个文字来进行配方，余下的项中不再含有该文字。（2）化法关键是消去交叉项，分两种情形 1、含有平方项的交叉项 用完全平方公式 2、只含交叉项 用平方差公式（3）作一次变量的线性替换，都要考虑是非退化的（）,32,定 理,定
6、理1：任何一个二次型都可化为标准形。即任何一个对称阵A，总能找到可逆阵C，使 成为对角阵。定理2：（惯性定理）实数二次型 的任一标准形中，系数为正的平方项个数是惟一确定的，系数为负的平方项个数也是惟一确定的。,33,正定二次型,若二次型 对任意非零向量，则称f为正定二次型，也称实对称矩阵A为正定矩阵。,34,正定矩阵的判别,定理：设A为阶实对称矩阵，则下列命题等价：（1）A是正定矩阵；（2）A的正惯性指数为n；（3）A的n个特征值全大于零。惯性指数：在实二次型的标准形中，正平方项个数称为正惯性指数，负平方项个数称为负惯性指数，正、负惯性指数之和称为二次型的秩，指数之差称为符号差。,35,例4、判别二次型的正定性,解：写出f相应的矩阵,计算其顺序主子式：,36,37,例5、问t取什么值，二次型是正定的？,解：写出f相应的矩阵,计算其顺序主子式：,38,
