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1、4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法,上节介绍了用消元法解线性方程组:a11x1+a12x2+.+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+.+a2nxn=b2,(1).am1x1+am2x2+.+amnxn=bm,此法在实际解方程组时是比较方便的,下面再解决几个问题:,4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法,(甲)上节利用初等变换把的系数矩阵:,4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法,可看到:矩阵中出现的整数r有极重要的地位.问题是:r与系数矩阵有何关系?有唯一确定还是要依赖初等变换呢?,4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法,但是,易见:用不同的初等变换,可将 形如但不同的矩阵.
2、(乙)方程组何时有解,何时无解?原因不清.(丙)用方程组系数与常数项来表示解的公式还没有,而解的公式在理论上有重要意义.下面讨论上述几个问题,行列式理论与“矩阵与秩”的概念将起基本作用.先讨论 一个矩阵的元素构成的一系列行列式.,4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法,定义1 在一个s行t列矩阵中任取k行k列(ks,kt).位于这些行列交点处的元素构成的k阶行列式称为该矩阵的一个k阶子式.考察:矩阵中出现的整数r与的子式之间有何关系?先假定r0,则含有一个r阶子式:但它不含阶数高于r的非零子式.,4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法,在r=m或r=n时,不含阶数高于r的子式;在rm,rn
3、时,的任一阶数高于r的子式至少含有一行元素全为零,则该子式必为零.中非零子式的最大阶数=r.定义2 一个矩阵A的非零子式的最大阶数称为该矩阵的秩,并记作:秩A(Rank A).若一个矩阵没有非零子式,则其秩为零(显然是元素全为零时).由定义,一个矩阵的秩该矩阵的行(列)数.由此可知:矩阵中的 r 矩阵的秩.,4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法,(下面证明)矩阵中的r也是的系数矩阵的秩,即r有系数矩阵唯一确定.(即证)初等变换不改变矩阵的秩.证:首先有一事实:若对一矩阵A施行某种行或列初等变换得到矩阵B,则对B施行同一种初等变换又可得到A.交换A的第i,j行得到B,再交换B的第i,j行当然
4、得到A.A的第i行乘以a0得到B,则将B的第i行乘以1/a也得到A.A的第j行乘以k加到第i行得到B,则将B的第j行乘以k加到第i行又得到A.类似有列的情形.,4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法,(分三种行初等变换来证明定理)矩阵A的第j行乘以数k加到第i行得到矩阵B:且 RankA=r.证明RankB=r.先证:RankBr.,4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法,若矩阵B没有阶数大于r的子式,当然没有阶数大于r的非零子式,所以RankBr.设矩阵B有s阶子式,且sr,分3种情形:(i)D不含第i行的元素,则D也是A的一个s阶子式,而sRankA,D=0.(ii)D含第i行的元素,
5、也含第j行的元素,由命题得:,4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法,后一个行列式是矩阵A的一个s阶子式.,4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法,(iii)D含第i行的元素,但不含第j行的元素,则:其中,D1是A的一个s阶子式,D2与A的一个s阶子式最多差一符号,所以D1=D2=0,从而,D=0.,4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法,在矩阵B有阶数大于r的子式时,B的任何此类子式均为零,而RankBr,即任何情形都有:RankB RankA.因为也可对矩阵B施行第3种行初等变换而得到A,所以也有:RankA RankB.从而有:RankB=RankA.即:第3种行初等变换不改变矩阵
6、的秩.对其他初等变换,类似可证.这已解决问题(甲),实际上,Th告诉我们:只需利用初等变换化A为4.1型矩阵后,数数含有非零元素的行有几个便能求得A的秩,并不需要算其子式.(再考虑(乙),4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法,定理4.2.2(线性方程组可解的判别法)线性方程组有解(充分必要条件)它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等.证:以表示的增广矩阵,即:前n列所作矩阵即的系数矩阵A.,4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法,用初等变换化 为:若以B表示的前n列所作矩阵,由定理4.2.1,有:RankA=RankB=r,Rank=Rank.,4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法,再设线性方程组有解,则或r=m或rm,且dr+1=.=dm=0,这两种情形都有:Rank=r.由可得:RankA=Rank.反之,设RankA=Rank,则由得:Rank=r.r=m或rm且dr+1=.=dm=0,从而方程组有解.综上所述,定理得证.,返回第四章目录 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法,最后把上节关于解的个数的结果以定理表述:若线性方程组的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r,而所含未知量个数为n,则r=n时,方程组有唯一解;rn当然无解啦),
