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1、1,代数系统定义同类型与同种的代数系统子代数积代数,5.2 代数系统及其子代数、积代数,2,代数系统定义与实例,定义 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1,f2,fk 组成的系统称为一个代数系统,简称代数，记做 V=.例：有的代数系统定义指定了S中的特殊元素，称为特异元素或代数常数,例如二元运算的幺元.有时也将代数常数作为系统的成分.例：,3,实例,1.,是代数系统，+和 分别表示普通加法和乘法.2.是代数系统，+和 分别表示n 阶(n2)实矩阵的加法和乘法.3.是代数系统，Zn0,1,n-1，和 分别表示模 n 的加法和乘法，x,yZn，xy=(xy)mod n，xy=(xy
2、)mod n4.也是代数系统，和为并和交，为绝对补,4,子代数,定义 设V=是代数系统，B 是 S 的非空子集，如果 B 对 f1,f2,fk 都是封闭的，且 B 和 S 含有相同的代数常数，则称 是 V 的子代数系统，简称 子代数.例 是 的子代数.(因为N对封闭，而且都没有代数常项)。同样，是 的子代数.是 的子代数.(因为N对封闭，而且都有相同的代数常项0)不是 的子代数.说明：对于任何代数系统 V，其子代数一定存在.,5,关于子代数的术语,最大的子代数 就是V 本身.如果V 中所有代数常数构成集合 B，且 B 对V 中所有运算封闭，则 B 就构成了V 的最小的子代数.最大和最小子代数称
3、为V 的平凡的子代数.若 B 是 S 的真子集，则 B 构成的子代数称为V 的真子代数.例2 设V=，令 nZ=nz|zZ，n 为自然数，则 nZ 是 V 的子代数.当 n=1 和 0 时，nZ 是 V 的平凡的子代数，其他的都是 V 的非平凡的真子代数.,6,积代数,定义 设 V1=和 V2=是代数系统，其中 o 和 是二元运算.V1 与 V2 的 积代数 是V=,S1S2,=例3 V1=,V2=,积代数,ZM2(R),o=,7,积代数的性质,定理 设 V1=和 V2=是代数系统，其中 o 和 是二元运算.V1 与 V2 的积代数是 V=(1)若 o 和 运算是可交换的，那么 运算也是可交换
4、的(2)若 o 和 运算是可结合的，那么 运算也是可结合的(3)若 o 和 运算是幂等的，那么 运算也是幂等的(4)若 o 和 运算分别具有单位元 e1 和 e2，那么 运算 也具有单位元(5)若 o 和 运算分别具有零元 1 和 2，那么 运算 也具有零元(6)若 x 关于 o 的逆元为 x1,y 关于 的逆元为 y1，那 么关于 运算也具有逆元,8,5.3 代数系统的同态与同构,同态映射的定义同态映射的分类单同态、满同态、同构自同态同态映射的性质,9,同态映射的定义,定义 设 V1=和 V2=是代数系统，其中 和 是二元运算.f:S1S2,且x,yS1,f(xy)=f(x)f(y),则称
5、f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.,10,更广泛的同态映射定义,定义 设 V1=和 V2=是代数系统，其中 和 是二元运算.f:S1S2,且x,yS1 f(x y)=f(x)f(y),f(x y)=f(x)f(y)则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.设 V1=和 V2=是代数系统，其中 和 是二元运算.和 是一元运算，f:S1S2,且x,yS1 f(xy)=f(x)f(y),f(xy)=f(x)f(y),f(x)=f(x)则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.,11,例 V1=，V2=，Zn=0,1,n-1,是模 n 加.令 f：ZZn，f(x)=(x)mod n
6、 则 f 是V1到 V2 的同态.x,yZ有 f(x+y)=(x+y)mod n=(x)mod n(y)mod n=f(x)f(y)例 V1=，V2=f：R R,f(x)=ex,12,例题,例1 V=,判断下面的哪些函数是V 的自同态？(1)f(x)=|x|(2)f(x)=2x(3)f(x)=x2(4)f(x)=1/x(5)f(x)=x(6)f(x)=x+1,解(2),(5),(6)不是自同态.(1)是同态，f(xy)=|xy|=|x|y|=f(x)f(y)(3)是同态，f(xy)=(xy)2=x2 y2=f(x)f(y)(4)是同态，f(xy)=1/(xy)=1/x 1/y=f(x)f(y)
7、,13,特殊同态映射的分类,f 为V1=到 V2=的同态，则1.是V1在f下的同态像，2.同态映射f如果是单射，则称为单同态；3.如果f是满射，则称为 满同态，记作 V1V2；4.如果f是双射，则称为 同构，也称代数系统 V1 同构于V2，记作 V1V2.5.对于代数系统 V，它到自身的同态称为自同态.类似地可以定义单自同态、满自同态和自同构.,14,同态映射的实例,例2 设V=，aZ，令 fa：ZZ，fa(x)=ax那么 fa是V的自同态.因为x,yZ，有 fa(x+y)=a(x+y)=ax+ay=fa(x)+fa(y)当 a=0 时称 f0为零同态；当a=1时，称 fa为自同构；除此之外其
8、他的 fa 都是单自同态.,15,例3 设V1=,V2=，其中Q*=Q0，令 f：QQ*,f(x)=ex 那么 f 是V1到V2的同态映射，因为x,yQ有 f(x+y)=ex+y=exey=f(x)f(y).不难看出 f 是单同态.,同态映射的实例（续）,16,同态映射的实例（续）,例4 V1=，V2=，Zn=0,1,n-1,是模 n 加.令 f：ZZn，f(x)=(x)mod n则 f 是V1到 V2 的满同态.x,yZ有 f(x+y)=(x+y)mod n=(x)mod n(y)mod n=f(x)f(y),17,例5 设 V=，可以证明恰有 n 个G 的自同态，fp：ZnZn,fp(x)
9、=(px)mod n，p=0,1,n1例如 n=6,那么 f0为零同态,同态像是；f1与 f5为同构；f2 与 f4的同态像是；f3 的同态像是.,同态映射的实例（续）,18,定义：设 V1=和 V2=是代数系统，其中 和 是二元运算.k1是S1的代数常数，k2是S2的代数常数，f:S1S2,如果满足（1）x,yS1,f(xy)=f(x)f(y),（2）f(k1)k2 则称 f 为V1到 V2 的同态,例 V1=，V2=，Zn=0,1,n-1,是模 n 加.令 f：ZZn，f(x)=(x)mod n x,yZ有 f(x+y)=(x+y)mod n=(x)mod n(y)mod n=f(x)f(
10、y)同时，f(0)=0,19,同态映射保持运算的算律,设V1,V2是代数系统.o,是V1上的二元运算，o,是V2上对应的二元运算，如果 f：V1V2是同态，那么(1)若o运算是可交换的（可结合、幂等的），则o运算也是可交换的（可结合、幂等的）.(2)若o运算对运算是可分配的，则o运算对运算也是可分配的；若o 和运算是可吸收的，则 o和运算也是可吸收的。,20,(3)若e为o 运算的幺元，则 f(e)为o运算的幺元.(4)若 为o 运算的零元，则 f()为o运算的零元.(5)设 uV1，若 u1 是 u 关于o运算的逆元，则 f(u1)是 f(u)关于o运算的逆元。,同态映射保持运算的特异元素,
11、21,同态映射的性质,说明：上述性质仅在满同态时成立，如果不是满同态，那么相关性质在同态像中成立.同态映射不一定能保持消去律成立.例如 f:ZZn 是 V1=到 V2=的同态，f(x)=(x)mod n,V1中满足消去律，但是当 n 为合数时,V2中不满足消去律.,22,例题,证 假设 f 是 V2 到 V1 的同构，那么有f：V2V1，f(1)=0.于是有 f(1)+f(1)=f(1)(1)=f(1)=0从而 f(1)=0，又有 f(1)=0，这与 f 的单射性矛盾.,例3 设V1=，V2=，其中 Q 为有理数集合，Q*=Q0，+和 分别表示普通加法和乘法.证明不存在 V2 到 V1 的同构.,
