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1、观察三棱柱各条棱所在直线的位置关系:,定义：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线,空间两直线的位置关系,2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系(一),公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行,一、平行直线,变形1:若把平面四边形ABCD延AC折起.问四边形EFGH的形状.,例2.P是三角形ABC所在平面外的一点，D，E分别是三角形PAB和三角形PBC的重心.求证：DEAC，DE=(1/3)AC.,P,A,C,B,D,E,证明：连接PD,PE并延长交AB,BC与M,N.连接MN,D，E分别是三角形PAB和三角形PBC的重心，,M,N分别是三角形PAB和三角形PBC的中点,MNAC且MN
2、=1/2AC,在三角形PMN中,PD/PM=PE/PN=2/3,DEMN,且DE=2/3MN,由(1)(2),根据公理4得DEAC，DE=1/3AC,二、相交直线,(1),(2),作图时，通常用一个或两个平面衬托,1.定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.,2.异面直线的画法,三、异面直线,练习:两条异面直线指的是()A.没有公共点的两条直线B.分别位于两个不同平面的两条直线C.某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线,定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.,在平面内，若两条直线相交，我们用“夹角”这一概念定量地刻画它
3、们的关系。在空间中，我们应该怎样刻画两条异面直线的关系呢？,3.异面直线所成角,已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O，分别作直线a1a，b1b，我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,说明:异面直线a和b所成的角的范围：,异面直线a和b所成的角的大小与点O的位置无关；,异面直线a和b所成的角的作法步骤.,b,例4.如图，正方体中，求(1)A1D与AC所成的角;(2)A1C1与D1B所成的角.,解法步骤：作，证，算,特别地，如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。,相交垂直(有垂足),异面垂直(无垂足),例5.如图，在三棱锥ABCD中，E、
4、F分别是AB、CD的中点，且EF6，AC6，BD8，则异面直线AC与BD的所成角的余弦值为多少？,G,说明：异面直线所成角的范围是（0，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。,4.异面直线的证法,例6.求证:平面外一直线与平面相交,则此直线与平面内不经过这一交点的直线异面.,异面直线的判定定理:平面外一直线与平面相交,则此直线与平面内不经过这一交点的直线异面.,(2)异面直线在同一平面的射影可能有几种情况？,四、直线与直线的位置关系,例8.(1)一条直线与两条异
5、面直线中的一条相交,那么它与另一条之间的位置关系()A.平行 B.相交 C.异面 D.可能平行,可能相交,可能异面,5.异面直线的距离,思考:和两条异面直线都垂直的直线有多少条？,与这两条异面直线都垂直相交的直线有多少条？,定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线,定义：两条异面直线的公垂线在两条异面直线间的线段，叫 两异面直线的距离,例9.设图中的正方体的棱长为a，,求异面直线A1B与CC1的距离,求异面直线A1B与B1C1的距离,求异面直线AB与A1C的距离,提示:异面直线所成的角和异面直线的距离,2.已知a,b是异面直线，ca，那么c与b()一定是异面关系B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线,如果两条直线a和b没有公共点,那么a与b()共面 B.平行C.异面 D.可能平行,也可能是异面,变形2:若把平面四边形ABCD延AC折起.G,F分别为CD,CB的中点且 问四边形EFGH的形状.,例2 如图，在三棱锥ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，且EF5，AC6，BD8，则异面直线AC与BD的所成的角为多少？,G,求证：,补充训练,例2、如图，以知F、E是正方体的棱AD、的中点，求证：,
