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1、第五节 空间几何体的面积与体积,1.空间几何体的侧面积（1）简单几何体的侧面展开图的形状,矩形,扇形,矩形,等腰三角形,（2）简单几何体的侧面积S圆柱侧=_（r为底面半径，l为侧面母线长）.S圆锥侧=_（r为底面半径，l为侧面母线长）.S圆台侧=_（r1，r2分别为上、下底面半径，l为母线长）.S直棱柱侧=_（c为底面周长,h为高）.S正棱锥侧=_(c为底面周长，h为斜高).S正棱台侧=_(c，c分别为上、下底面周长,h为斜高）.,2rl,rl,(r1+r2)l,ch,2.柱体、锥体、台体的体积公式,Sh,3.球的表面积和体积公式若球的半径为R，则S球面=_;V球=_.,4R2,判断下面结论是
2、否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）长方体的体积等于长、宽、高之积.()（2）锥体的体积等于底面面积与高之积.()（3）球的体积之比等于半径比的平方.()（4）台体的体积可以转化为两个锥体的体积之差.()（5）直径为1的球的表面积S=4r2=4.(),【解析】（1）正确.长方体是一种特殊的直四棱柱，其体积V=Sh=abc（其中a,b,c分别为长方体的长、宽、高）.（2）错误.锥体的体积等于底面面积与高之积的（3）错误.因为球的体积 故球的体积之比等于半径比的立方.（4）正确.由于台体是由平行于锥体的底面的平面截锥体所得的在截面与底面之间的几何体，故其体积可转化为两个锥体的体积之差.,（5）
3、错误.直径为1的球的半径为 故其表面积S=4r2=答案：（1）（2）（3）（4）（5）,1.一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是()（A）8（B）6（C）4（D）【解析】选C.正方体的体积是8，正方体的棱长为2，故内切球的半径r=1，球的表面积S=4r2=4.,2.正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()【解析】选A.正六棱柱的表面积为646+44sin 60,3.直角三角形两直角边AB=3，AC=4，以AB为轴旋转一周所得的几何体的体积为()（A）12（B）16（C）9（D）24【解析】选B.由题意知，该几何体是底面半径为4，高为3的圆锥，故其体积,4.若某几何体的
4、三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的侧面积为_cm2.,【解析】由三视图可知该几何体是圆锥，其底面圆半径为3，母线长l=5,S侧=235=15(cm2).答案：15,5.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是_.,【解析】由三视图知该几何体为组合体，由一个正四棱锥与一个正方体叠加构成，其中正方体的棱长为3，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长为3，V=V正方体+V正四棱锥=33 91=30答案：30,【备选考向】几何体的折叠与展开【典例】（1）如图，在三棱柱ABC-ABC中，ABC为等边三角形，AA平面ABC，AB=3,AA=4，M为AA的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过
5、棱CC到M的最短路线长为 设这条路线与CC的交点为N，则PC=_，NC=_.,（2）如图为一几何体的展开图，其中四边形ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及点P，D，C，R分别共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要_个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体.,【思路点拨】（1）可将该三棱柱的侧面沿棱BB展开，然后利用平面几何的知识解决.（2）将平面图形折叠后得到一个四棱锥，然后利用体积相等求解.,【规范解答】（1）将该三棱柱的侧面沿棱BB展开，如图所示：设PC=x,则MP2=MA2+（AC+x）2.MP=MA=2，A
6、C=3，x=2,即PC=2.又NCAM，答案：2,（2）由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P-ABCD，其中PD平面ABCD，因此该四棱锥的体积 而棱长为6的正方体的体积V=666=216，故需要 个这样的几何体，才能拼成一个棱长为6的正方体.答案：3,【互动探究】保持本例题（1）条件不变，则一只蚂蚁从B点出发沿三棱柱的三个侧面绕一周，到达B点的最短路线的长为_.【解析】由题意可知，其最短路线为侧面展开图的对角线，故其最短路线的长为答案：,【拓展提升】1.求几何体表面上两点间的最短距离的方法常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开，转化为求平面上两点间的最短距离,2.解决折
7、叠问题的技巧（1）解决折叠问题时，要分清折叠前后两图形中（折叠前的平面图形和折叠后的空间图形）元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化，哪些没有发生变化（2）折叠问题中的前后两个图形，在折线同侧的元素的位置关系和数量关系不发生变化；在折线异侧的元素的位置关系和数量关系发生变化,【变式备选】（1）如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是_.,【解析】把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成如图所示的平面图形，连接AB，则AB即为蚂蚁爬行的最短距离.AB=AB=2,AA为底面圆的周长，则AA=21=2，即蚂蚁爬行的最短距离为答案：,
8、（2）如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_.【解析】由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为 连接顶点和底面中心即为高，可得高为 所以体积为答案：,考向 1 空间几何体的表面积【典例1】（1）（2012北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是(),（2）（2012辽宁高考）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_.,【思路点拨】（1）由三视图还原直观图，再求表面积.（2）读懂三视图，该几何体为长方体挖掉一个底面直径为2的圆柱，分别求表面积，注意减掉圆柱的两个底面积.,【规范解答】（1）
9、选B.直观图如图所示:底面是边长AC=5，BC=4的直角三角形，且过顶点P向底面作垂线PH，垂足在AC上，AH=2，HC=3，PH=4.SABC=45=10，,SPAC=54=10.因为PH平面ABC，所以PHBC.又因为BCAC，PHAC=H，所以BC平面PAC，所以BCPC.所以SPBC=45=10.在PAB中，PB=AB=取PA中点E，连接BE，则BE=6，所以SPAB=因此三棱锥的表面积为,（2）长方体的长、宽、高分别为4，3，1，表面积为432+312+412=38；圆柱的底面圆直径为2，母线长为1，侧面积为211=2；圆柱的两个底面积和为212=2，故该几何体的表面积为38+2-2
10、=38.答案：38,【拓展提升】1.多面体的表面积的求法求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系.,2.旋转体的表面积的求法圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.【提醒】解题中要注意表面积与侧面积的区别，对于组合体的表面积还应注意重合部分的处理.,【变式训练】（1）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(),【解析】选C.由三视图知几何体的直观图如图所
11、示：为以四边形ABCD为底面的直四棱柱，且 AD=4，BC=2，则其侧面积为 两底面面积为 故几何体的表面积为,（2）（2013长春模拟）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是_.,【解析】由三视图可知原几何体是一个长方体中挖去半球体，故所求表面积为S=4+8+4-+2=16+.答案：16+,考向 2 空间几何体的体积【典例2】（1）（2013皖南八校联考）已知某几何体的三视图如图所示，其中，主视图，左视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为(),(2)(2013亳州模拟）三视图如图所示的几何体的体积为_.,（3）（2012天津高考
12、）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_m3.,【思路点拨】（1）该几何体是半球与三棱锥的组合体.（2）由三视图可知该几何体为一个四棱锥.（3）根据三视图得到几何体的直观图，结合相应的数据，利用柱体的体积公式求解.,【规范解答】（1）选C.由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得(2)由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的四棱锥，且答案：1,（3）组合体的底座是一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体，上面是一个平躺着的高为4的四棱柱，其两个底面的面积为 所以所求的体积是答案：30,【拓展提升】1.求几何体体积的类型及思路（1
13、）若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解,2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,【变式训练】（2012天津高考）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_m3.,【解析】组合体的上面是一个长、宽、高分别为6，3，1的长方体，下面是两个半径为 的相切的球体，所以所求的体积是答案：18+9,【易错误区】求球的组合体体积时的易错点【典例】（2012新课标全国卷）已知三棱锥S-A
14、BC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为()【误区警示】本题易出现的错误主要是不能根据SC为球O的直径将三棱锥的体积进行合理转化，从而无法求解或求解错误.,【规范解答】选A.由于三棱锥S-ABC与三棱锥O-ABC的底面都是ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S-ABC的高是三棱锥O-ABC高的2倍，所以三棱锥S-ABC的体积也是三棱锥O-ABC体积的2倍.在三棱锥O-ABC中，其棱长都是1，如图所示：,【思考点评】1.与球有关的组合体问题的求解解决与球有关的组合体问题，可通过画过球心的截面来分析.例如，底面半径为r，高为h的圆锥内
15、部有一球O，且球与圆锥的底面和侧面均相切，过球心O作球的截面，如图所示，则球心是等腰三角形ABC的内切圆的圆心，AB和AC均是圆锥的母线，BC是圆锥底面的直径，D是圆锥底面的圆心.,用同样的方法可得以下结论：（1）长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；球与正方体的6个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线.（2）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径.（3）球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高.,2.空间几何体的切割问题在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的
16、体积之比时，常常需要用到分割法.在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积.,1.(2012广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为(),(A)12(B)45(C)57(D)81【解析】选C.由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两个几何体组合而成，直观图如图所示：,圆锥的底面半径为3，高为4，圆柱的底面半径为3，高为5，,2.(2012湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(),(A)(B)3(C)(D)6【解析】选B.可补上一个与它完全相同的几何体后为圆柱，所求几何体体积为,3.(2013西安模
17、拟）如图（1）所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图（2）水平放置时，液面高度为20 cm,当这个几何体如图（3）水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为()(A)29 cm(B)30 cm(C)32 cm(D)48 cm,【解析】选A.设这个几何体的总高度为h cm，两次放置没有水的部分体积相等，得：解得h=29.即这个几何体的总高度是29 cm，故选A.,4.（2012安徽高考）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_.,【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱
18、柱（如图所示）.在四边形ABCD中，作DEAB，垂足为E，则DE=4，AE=3，则AD=5.所以其表面积为：答案：92,5.(2012山东高考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为线段AA1,B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为_.,【解析】答案：,1.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()(A)12(B)(C)3(D),【解析】选C.由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，根据球与四棱锥的位置关系知，外接球的直径是AC，根据直角三角形的勾股定理知AC=外接球半径为 所以外接球的面积为=3,选C.,2.一个水管弯头的三视图如图所示，根据三视图中的尺寸，可得该水管弯头的侧面积为()（A）4（B）8（C）12（D）16,【解析】选C.由题知，可将该水管弯头转换为一个底面直径为2，高为6的圆柱，从而可知该水管弯头的侧面积等于该圆柱的侧面积，故S=2rh=216=12.,
