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1、,空间向量的正交分解及其坐标表示,例1 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,已知：如图，PO,PA分别是平面的垂线，斜线,AO是PA在平面内的射影，,A,A,已知：如图，PO,PA分别是平面的垂线，斜线,AO是PA在平面内的射影，,分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.,例2 如图，m,n是平面内的两条相交直线。如果lm,ln,求证：l,空间向量的正交分 解及其坐标表示,共线向量定理:,复习：,共面向量定理:,平面向量基本定理：,平面向量的正交分解及坐标表示,问题：,我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个
2、不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？,由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组 x,y,z使得 我们称 为向量 在 上的分向量。,探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量，你能得出类似的 结论吗？,任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。,空间向量基本定理：,如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使,都叫做基向量,（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。,特别提示：对于基底a,b,c,除了应知道a,b,c不共面，还应明确：,（2）由于可
3、视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。,（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。,推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x,y,z，使 当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。,一、空间直角坐标系,给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使 p=xe1+ye2+ze3 有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z),二、空间向量的
4、直角坐标系,x,y,z,O,e1,e2,e3,在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点，A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使 OA=xe1+ye2+ze3,在单位正交基底e1,e2,e3中与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.,x,y,z,O,A(x,y,z),e1,e2,e3,练习：1、在空间坐标系o-xyz中，(分别是与x轴、y轴、z轴的正方向相同的单位向量)则 的坐标为，点B的坐标为。2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为，关于原点的对称点为，关于轴的对称点为，,例题,已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.,1、已知向量a，b，c是空间的一个基底求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底,练习,练习2,
