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1、11.2.2 空间向量的概念及其运算,一.空间向量及其加法、数乘运算,2共线向量,1.空间向量的定义,3共面向量：,4平面向量基本定理及其推论,5两个向量的数量积,二向量的坐标运算,空间向量的线性运算,如图所示，在平行六面体 中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQQA1=41，设，用基底a，b，c 表示以下向量：,（1）（2）（3）（4）,解：连接AC、AD1,（1）,（2）,（3）,（4）,同一向量在不同基底下的坐标,已知向量a，b，c 是空间的一基底，向量 a+b，a-b，c 是空间的另一基底，一向量p在基底 a，b，c 下的坐标为（1，2，3）
2、，求p在基底 a+b，a-b，c 下的坐标。,解：设p在基底a+b，a-b，c下的坐标为(x，y，z)，则a+2b3cx(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,解得,故p在基底a+b，a-b，c 下的坐标为（）。,空间向量的坐标运算,已知O为原点，向量，求,解:设,，,即,解此方程组，得,(2006年湖北重点高中联合考试)已知在四面体ABCD中，G 平面ABC,（）若G为ABC的重心，试证明,（）试问（1）的逆命题是否成立？并证明你的结论,利用空间向量证明几何命题,思路分析:要用 表示 只需结合图形,充分利用空间向量的加法与数乘向量的运算即可;对于其逆命题是否成立,可
3、借助于条件 来进行判断.,解：（）连AG交BC于D，则D平分BC，且G分所成 的比为21，从而,故,点评与感悟:选定空间中不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求,解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需要的量,再对照目标,将不符合目标要求的向量作出新的调整,如此反复,直到所有的向量都符合要求为止.,已知空间中三点,设a=,b=,(1)若|c|=3,且c/,求向量c;,(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值;(3)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值;,(4)若(a+b)+(ab)与z轴垂直，求 的应满足的关系
4、.,空间向量性质的应用,思路分析:本题空间向量坐标运算法则的应用，根据a，b,则=,=,等来求解该题,这是需要熟练掌握的知识点,因为这是利用向量解决立体向量的基础.,解:(1),所以,或,(2),又,即向量a与向量b的夹角的余弦值为,(3)解法一,或,即ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值为2或,解法二:由(2)知,得 或,(4),即当 满足关系 时,可使(a+b)+(ab)与z轴垂直.,点评与感悟:证明两条直线垂直,一般是用两条直线的方向向量的数量积等于0来加以证明的.,平面的法向量的求法,已知=（2，2，1）,=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量.,思路分析:可以设出所求的法向
5、量n=（x，y，1）,由于法向量与平面是垂直,于是与平面内的任何一个向量垂直,利用向量垂直的充要条件来进行求解.,解：设面ABC的法向量n=（x，y，1），则n 且n,即n，且n=0，,即,n=（，1，1），,点评与感悟:一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n的某个坐标设为1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解.,利用空间向量求线段的长（两点的距离）,已知空间四边形ABCD的每条边和每条对角线长度都等于a，点M,N分别是边AB,CD的中点，求MN的长。,思路分析:由于该空间四边形的每条边与对角线长度都相等，因此每一个面都是正三角形，以同一个顶点出发的三条棱作为基底，将有关向量分解。,的长为,点评与感悟:运用空间向量解题，应注意选取适当的基底对相关的向量进行合理的分解。基底的选取应注意以下两点：一是三个向量不共面；二是这三个向量中两两的夹角都可求，一般在四面体、正方体和长方体中，都是以从同一个顶出发的三条棱所在向量作为基底的。,本 节 完,
