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1、,空间向量的正交分解及其坐标表示,共线向量定理:,复习：,共面向量定理:,平面向量基本定理：,平面向量的正交分解及坐标表示,问题：,我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？,一、空间向量的坐标分解,给定一个空间坐标系和向量 且设 为空间两两垂直的向量，设点Q为点P在 所确定平面上的正投影.,一、空间向量的坐标分解,由此可知,如果 是空间两两垂直的向量,那么,对空间任一向量,存在一个有序实数组 x,y,z使得 我们称 为向量 在 上的分向量.,空间向量基本定理：,都叫做基向量,注:,探究：在空间中,如果用任意
2、三个不共面向量 代替两两垂直的向量,你能得出类似的 结论吗？,如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量,存在有序实数组,使,（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.,特别提示：对于基底a,b,c,除了应知道a,b,c不共面，还应明确：,（2）由于可视 为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是.,（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念.,二、空间直角坐标系,x,y,z,e1,e2,e3,O,单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用 表
3、示.,空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底,以点O为原点，分别以 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O-xyz,x,y,z,O,P(x,y,z),e1,e2,e3,在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一向量,平移使其起点与原点o重合,得到向量 由空间向量基本定理可知,存在有序实数组,使,显然,向量 的坐标，就是点P在此空间直角坐标系中的坐标(x,y,z).,x,y,z,O,P(x,y,z),也就是说,以O为起点的有向线段(向量)的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化.,e1,e2,e3,一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线
4、段的终点的坐标减去起点的坐标.,思考：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),练习1 如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O、M、P、Q分别是AC、DD1、CC1、A1B1的中点，写出下列向量的坐标.,例题讲解,15,练习3,探究：向量运算的坐标表示,x1x2y1y2z1z2 0,若点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2),(x2x1，y2y1，z2z1)，,如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是A1B1，C1D1的一个四等分点，求异面直线BE与DF所成角的余弦值.,例题讲解,如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是BB1，B1D1的中点，求证：EFA1D.,F,例题讲解,
