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1、,空间向量的正交分解及其坐标表示,共线向量定理:,复习：,共面向量定理:,平面向量基本定理：,平面向量的正交分解及坐标表示,问题：,我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？,一、空间向量的坐标分解,给定一个空间坐标系和向量 且设 为空间两两垂直的向量，设点Q为点P在 所确定平面上的正投影.,一、空间向量的坐标分解,由此可知,如果 是空间两两垂直的向量,那么,对空间任一向量,存在一个有序实数组 x,y,z使得 我们称 为向量 在 上的分向量.,空间向量基本定理：,都叫做基向量,探究：在空间中,如果用任意三个不
2、共面向量 代替两两垂直的向量,你能得出类似的 结论吗？,如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量,存在有序实数组,使,叫做空间的一个基底,（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.,特别提示：对于基底,除了应知道 不共面，还应明确：,（2）由于可视 为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是.,（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念.,例1 设 且 是空间的一个基底,给出下列向量组,其中可以作为空间的基底的向量组有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,分析:能否作为空间的基底,即是判断给
3、出的向量组中的三个下向量是否共面,由于 是不共面的向量,所以可以构造一个平行六面体直观判断,设,易判断出答案,C,例题讲解：,例题讲解,二、空间直角坐标系,以 建立空间直角坐标系Oxyz,若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则,练习1 如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O、M、P、Q分别是AC、DD1、CC1、A1B1的中点，写出下列向量的坐标.,探究：向量运算的坐标表示,练习一：,2.求下列两个向量的夹角的余弦：,1.求下列两点间的距离：,例题：,例1已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；,解：设是的中点，则,点的坐标是.,解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则,例3如图,在正方体中，求与所成的角的余弦值.,练习：,x,y,z,建立空间直角坐标系来解题。,
