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1、3.1 空间直角坐标系,一、空间直角坐标系二、向量的概念三、向量的线性运算四、向量在轴上的投影五、线性运算的几何意义六、向量的模与方向余弦,做三条互相垂直的数轴,组成一个,空间直角坐标系.,坐标原点o,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o,坐标面,卦限(八个),zox面,一 空间直角坐标系,三条坐标轴符合右手规则,空间的点M,有序数组(x,y,z),特殊点的表示:,坐标轴上的点P,Q,R,坐标面上的点A,B,C,.,点的坐标的符号特点,例 在O-xyz坐标系中表示以下三个点：M1(1,2,3),M2(-1,2,3),M3(1,2,-3).,M1,x,y,z,O,
2、1,2,3,.,x,y,z,O,2,-1,M2,x,y,z,O,1,2,-3,M3,3,.,.,M2(-1,2,3),M3(1,2,-3).,二、向量的概念,向量：既有大小又有方向的量.,以A为起点，B为终点的有向线段.,向量的模：向量的大小.,单位向量：模为1的向量.,零向量：模为 0 的向量.,（模又称为长度或范数）.,A,B,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量,三、向量的线性运算,1.向量的分量：,零向量,2.向量的线性运算,定义 设=(a1,a2,a3),=(
3、b1,b2,b3),+称为加法，k 称为数乘.,加法与数乘统称为线性运算.,-=+（-）=(a1-b1,a2-b2,a3-b3).,+=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),k=(ka1,ka2,ka3).,3.线性运算满足的运算规律,(1)+=+;(2)(+)+=+(+);(3)+0=;(4)+(-)=0;(5)1=;(6)k(l)=(kl);(7)k(+)=k+k;(8)(k+l)=k+l.,例 化简,解,4.基向量与线性表出,=(a1,a2,a3)=(a1,0,0)+(0,a2,0)+(0,0,a3),分向量。,四、向量在轴上的投影,1.空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义向量与一
4、轴的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,2.空间一点在轴上的投影,3.向量在轴上的投影,向量在轴上的投影有以下两个性质：,证,由性质1容易看出：,投影为负；,投影为零；,(4)相等向量在同一轴上投影相等；,投影为正；,（可推广到有限多个）,利用勾股定理从图中可得,解,例,五、线性运算的几何意义,所以，OAPB是平行四边形.,则,x,y,O,1.平行四边形法则,平行四边形法则也可表示为三角形法则:,2.伸缩变换,(2)=0,对应坐标成比例,例如，,即，,对应坐标是成比例的,注意：,再如，,对应坐标是成比例的,例 非零向量单位化.,设向量,则,例 证
5、明：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半.,证 设DE是中位线，,例 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.,证,结论得证.,注,由勾股定理得,六.向量的模与方向余弦,1.向量的模,空间两点间距离公式,平面两点间距离公式,空间两点间距离公式,中点的坐标：,中点的坐标：,圆的方程：,球面的方程：,解,原结论成立.,解,设P点坐标为,所求点为,2、向量的方向余弦,非零向量 与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,由图示可知,方向余弦的性质,特殊地：,解,解,例,小结,一、向量的线性运算,作业：P101:4,6,8,11,二、向量的模和方向余弦,三、向量在轴上的投影,需要记住的结论,对应坐标成比例,平行四边形法则,中点的坐标：,解,所求向量有两个，一个与 同向，一个反向,或,
